一元凸函数的若干性质探讨.docVIP

1 凸函数的定义 定义1.1 设在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点，，恒有 ， 则称在[a,b]上是凸函数。 定义1.2 若（x）在[a，b]上是凸函数，对于任意，恒有 . 定义1.3 为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点，总有 . 定理1.1 以上三个定义是等价关系。 证明：1)定义1.1定义1.2 及有理数 用二进制表示为 =，，（）. 时，则.其中，且对于内任意两点，显然有 . 此时 即有 . 2)定义1.2定义1.3 记，则.由的凸性知道 ， 从而有 ， 整理后即得 . 3)定义1.3定义1.1 在上任取两点 上任取一点 ， ，即. 由必要性的推导逆过程，可证得 ， 即是凸函数，取时可得定义1.1. 综上所述：关于凸函数的三个定义是互相等价的,知道一个即可证出另外两个。 2 凸函数的判别法 2.1凸函数定义的扩展 凸函数有多种定义方式本文给出了三种，一下两个定理是关于凸函数判别的两种方式，也可以充当凸函数的定义。 定理2.1 设在上定义，是凸函数的充要条件为： ，有 . 证明：[必要性] 任取三点，因为,使，事实上，取即成 .由行列式性质得 若 是凸函数，上式第一个因子大于等于零，所以若是严格凸函数，上式第一个因子大于零，所以. [充分性] . 任意取定，令.由条件 所以有 即 , . 若，则上式严格不等号成立，即为严格凸函数。 定理2.2 设 ，且在上可导，则是凸函数的充要条件：有 . 证明：当时，取充分小，使，按三点斜率式得 由泰勒公式得 ， 令得 ， 从而时 . （2.1） 当时（），取使得，从而得 ， （2.2） 再取充分小，使，对用三点斜率式得 , 令得 ， （2.3） 由（2.2）（2.3）式可知（2.1）式在时也成立.因此，当时 定理成立。 上述两个定理也可以充当凸函数的定义.一个函数只要证出具有上述性质，即可说明该函数是凸函数。 推论2.2 凸函数在上任意取两点所对应的点的连线在和的部分弦之上，即 . 证明：取 （），得 ， , 所以． 2.2 用一阶导数判别凸函数 定理2.3 设，且在(a , b) 上可导, 为凸函数的充要条件为:在 ( a , b) 内为递增函数。 证明：[必要性] 任取上两点及充分小的正数。由于， 根据的凸性及定义1.3有 ， 由是可导函数，令时可得 ， 所以为上的递增函数。 [充分性] 要证是凸函数，只要证，时，有 . 根据拉格朗日中值定理得 = （）, = (). 由于上升，于是有，即得： . 所以是凸函数。 2.3 用二阶导数判别凸函数 定理2.4 设，那么若（a，b）内0，则在（a，b）为下凸的。 证明：设和为（a，b）内任意两点，记，并改记为，为，利用拉格朗日公式，得 =[]. 再对导数函数应用拉格朗日公式得 ， 其中，， 由于，故有 . 而与是（a，b）内任意两点，这就证明了此时在（a，b）为凸函数。 3 凸函数的性质 这里分三部分逐一讨论凸函数的性质，分别是凸函数的连续性、可微性和其他特殊性质。 3.1凸函数的连续性 这里为了讨论凸函数的连续性引入两个引理。 引理3.1.1 设在内为凸函数，那么在（a,b）中的任意闭子区间有界。 证明：设[a,b]令那么[a,b]上任一点, 所以M为在[a,b]上的上界。 另一方面[a,b]中的点写成的形式，， .再由为[a,b]上的凸函数，则 ， 或 　. 所以 , 。 引理3.1.2 设为（a,b）上的凸函数，那么在（a,b）中任意闭子区间[a,b]上，当时. 证明：取使，由引理3.1.1可知在上有界。设上界为M,下界为m，若令,则, . ， 所以 . 其中. 同理可证 ， 因而 ，. 定理3.1 设为（a,b）内的凸函数，那么在（a,b）内连续。 证明：任取,从而总存在一个区间满足,因而由引理3.1.2,对,有一个常数有 ， 那么对,当时. 。 3.2 凸函数的可微性 定理3.2 设为()内的凸函数,那么f在()内处处左右可导,同时满足 ， 证明：由定义1.3可知内为不减函数，当时 ， 是有限的。再因 , 所以 . 同理可证时有 . 由的任意性知: 在( a, b)处处左右可导.若且，取，那么 ， 即 ， 两边令则 . 同理可证