等参单元的特性矩阵计算.pptVIP

* 高斯积分阶数等于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案，称之为精确(exact)积分或完全(full)积分。 高斯积分阶数 n=p-m+1, 式中 p 是插值函数中完全多项式的方次; m 是微分算子中导数的阶次。 这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案，称之为减缩(reduced)积分。 取较低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，其实质相当于用一种新的插值函数替代原来的插值函数，从而改善单元的精度。 板弯曲单元中在计算弯曲和剪切应变能时采用不同的积分方案，通常剪切部分采用缩减积分，弯曲采用完全积分，以避免剪切自锁。称为选择(selected)积分。 * 保证结构总刚度矩阵 K 是非奇异的 有限元求解方程： 即要求： 存在。 或： 保证有足够的约束条件，使得向量a中变量均互相独立。 引入强迫边界条件后，K 必须是非奇异的。 即 K 是满秩的 秩就是系数矩阵中独立的行（列）数 K 所有行（列）的系数都是独立的 矩阵秩的两个基本规则 矩阵相加的秩规则 矩阵相乘的秩规则 秩B≤min(秩U,秩A,秩V) 秩C≤ 秩A+秩B * 单元刚度矩阵计算公式 弹性矩阵 D 是d×d 方阵 d 是应变分量数 平面问题 d =3 三维问题 d =6 轴对称问题 d =4 一般情况下 是高斯积分点的点数 是单元的结点自由度数 应变矩阵 B 是 矩阵 秩B=d 秩 * 如果系统的单元数为 M N 是系统的独立自由度数，也就是刚度矩阵 K 的阶数 刚度矩阵 K 非奇异的必要条件 如果系统的独立自由度数超过全部积分点可能提供的独立关系数目，则矩阵K必然是奇异的。 秩 * 刚度矩阵 K 非奇异的必要和充分条件均满足 精确积分方案下 真实结构系统 有别于刚体运动的位移模式 大于零的应变能 精确积分方案进行精确计算 K 为正定，即必然是非奇异的。 总大于零 离散方案下的应变能 * 刚度矩阵 K 非奇异的必要条件需要检查 减缩积分方案下 8 节点单元，给定刚体位移约束后， 独立自由度数 n=2?8-3=13 K 是奇异的。 1 2 4 3 5 6 7 8 y,v x,u o 可能的最大秩为 刚度矩阵 K 非奇异的必要条件 未被满足 减缩积分方案计算刚度矩阵 K * 可以验证，在单元减缩积分方案 高斯点上对应上述位移模式的应变等于零, 对应的应变能也为零。 实际上刚度矩阵共有4个零特征值 相应的4 个特征位移模式中 3 个为刚体运动的位移模式 1 个为有别于刚体运动的位移模式，其表示为 1 2 4 3 5 6 7 8 y,v x,u o 称为伪零能模式 图中矩形8节点单元的位移模式形似沙漏，也称为沙漏模式 * 单元应变能 其中 减缩积分方案 刚度矩阵 K 奇异 1 2 4 3 5 6 7 8 y,v x,u o * 4 节点单元 8 节点单元 选择积分阶次的分析 * 单 　元 常用积分阶数 最高积分阶数 4节点矩形单元 2×2 2×2 4节点任意四边形单元 2×2 3×3 8节点矩形单元 2×2 3×3 8节点任意四边形单元 3×3 4×4 9节点矩形单元 2×2 3×3 9节点任意四边形单元 3×3 4×4 二维等参元推荐采用的积分阶数 * 4.7 小结 1. 等参单元及其特点 单元几何变换： 单元位移描述： 若： —— 等参单元 意义： （1）可构造任意形状的四边形的六面体单元 （2）单元矩阵的积分运算标准化 （3）便于编制通用结构分析程序 特点： 具有与母单元相同的收敛性。 * 2.等参单元中单元矩阵的计算 —— 体力引起 （ T 作用于 ?=1的面上） ——面力引起 二维问题类似。 其中： 如何保证等参单元中积分的存在？ * 3.等参单元中单元矩阵计算的数值积分 Newton-Cotes积分： 积分点?i (i=1,2, …n)的等间距分布 （1） 次数： (n－1) （2） （3） 近似积分的精度阶数： (n－1)阶 Gauss积分： (2n－1) （1） 次数： （2） 积分点?i (i=1,2, …n)的不等间距分布。由下式确定： （3） 近似积分的精度阶数： (2n－1)阶 * Gauss 积分阶次的确定 二维的高斯积分 其中： 三维的高斯积分 其中： 注意Gauss积分点与单元节点的区别。 常用等参单元中积分阶次？ * 4.3.2 等参单元的收敛性 有限元解收敛性条件： （1）完备性条件 （2）协调性条件 ——包括：常数项、一次项 ——单元边界上位移连续 （a）相邻单元边界具有相同的节点数 （b）采用相同的插值函