分式方程与无理方程.docVIP

分式方程 一、教学重点和难点 1．教学重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 2．教学难点：理解解分式方程时可能无解的原因 3．疑点及分析和解决办法： 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 二、教学过程 第一步：引入新课 1．回忆：一元一次方程的解法，并且解方程 2．提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程. 第二步：归纳定义 1提问：方程和方程有何不同？ 2归纳： 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 注意：分母是否含有末知数是区别分式方程与整式方程的关键。 3巩固练习：下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程? （1） （2） （3） （ 4） （5） （6） （7） （8） 第三步：探究分析 1提问：如何来解分式方程呢？ 2归纳：解分式方程的基本思想和解法 分式方程------整式方程------解整式方程-----检验 3练习 ( x=9 ) ( 增根 x=5) （增根 x=1） 2解关于x的方程 产生增根,则常数m=( ) 无理方程 知识梳理：．．．．（A）（）（）（） 2、下列方程中，有实数根的方程是（ ） （A）（）（）（） 4、 5、 6、 分式方程和无理方程的解法 一、可化为一元二次方程的分式方程 1．去分母化分式方程为一元二次方程 【例1】解方程 ． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为： 方程两边各项都乘以： 即，：：．：代入，不等于0，所以是原方程的解；代入，等于0，所以是增根．，． 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的值的情况下，用去分母的方法解方程． 解：设，则原方程可化为： 解得或． (1)当时，，去分母，得； (2)当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，，都是原方程的解． 说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值． 【例3】解方程 ． 分析：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．因此，可以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． 解：设，则 原方程可化为：． (1)当时，； (2)当时，． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是，，． 说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想． 二、可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 1．平方法解无理方程 【例4】解方程 分析：移项、平方，转化为有理方程求解． 解：移项得： 两边平方得： 移项，合并同类项得： 解得：或 检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根． 把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是． 说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 【例5】解方程 分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程． 解：原方程可化为： 两边平方得：：：：，：．代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 把代入原方程，左边右边，所以是增根． 所以，原方程的解是． 分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：．因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理． 解：设，则 原方程可化为：， 即，解得：或． (1)当时，； (2)当时，因为，所