中北大学ACM-ICPC课程《最短路》.pptxVIP

最短路径问题;什么是最短路径问题？ 在图中的某一顶点（源点）到达另一个顶点（终点）的路径权值代价最小的一条路径。这条路径称之为最短路径（Short Path）。 给定一个图G(V,E)，V是顶点集合，E是边集合，每一条边有一个权值c，给定一个起始点S和终止点D，求从S出发走到D的权值最小路径，即为最短路径 先回忆一下：What is Graph？What is Path？;图的存储; 那么，面对最短路径这个问题，你又什么好的想法？可以大胆的说出来。 用前几次课的知识是否能解决？ 思考一下; 还有没有人记得DFS，BFS？ what？ 什么是dfs，bfs？ 不会的的同学请自行脑补。 假设大家都会了，我们继 续~; 应该可以想到： DFS（深度优先有哪些信誉好的足球投注网站）得到的结果是图上的一条路径，是任意的。 BFS（广度优先有哪些信誉好的足球投注网站）可以得到图的最??路径，但前提是所有路径的权值相同。 这是我们想要的结果吗？; 显然，我们的要求要更高一点。 但dfs与bfs确实是对图进行所有遍历的一个很好的方法，不会的同学希望下去可以下点功夫。 然后我们引入今天的正题，即对于一个常规的图如何求出我们想要的最短路径。; ShortPath算法具体的形式包括： 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 ; 单源路径的最短路问题： 给定一个有n个点的带权有向图，问从指定的起点开始，到其他所有点的最短路径。 1，不断利用松弛操作的Bellman-Ford算法 2，利用贪婪技术的Dijkstra算法 3，基于Bellman-Ford优化的SPFA算法 4，Dijkstra的堆优化算法 ;单源最短路径问题;单源最短路径问题 带权图中一个点到另一个点的最短路径一定唯一存在？ 有路径通达且没有“负权回路”则一定存在 不一定唯一 单源最短路径是否一定能构成一棵树？ 如果源点到其他所有点的最短路径都存在，则一定能找到一棵以指定的起点为根的树（边的方向总是从父亲指向儿子） ;单源最短路径问题; Bellman-Ford算法 如果边权可以为负值，那么可以使用Bellman-Ford算法求解单源最短路径问题。 ;Bellman-Ford算法 算法流程： 初始化所有点的dist值为+∞，起点的dist值为0 检查所有边u?v，用u点的dist值与这条边的权值之和更新v点的dist值。即对所有的边执行一次松弛操作。若此步骤中某个点的dist值更新了，那么可以说此步骤是“有收获的” 直到上一轮步骤2没有收获，或步骤2已经重复了n轮，否则再重复一次步骤2。若最后一轮步骤2仍旧是有收获的，那么说明起点能够到达一个负权回路，否则目标就已经达成了。 ;什么是松弛操作？ ;RELAX操作代码 下面看看松弛操作的一些引理 ; ; 知道什么是松弛操作后，来看看Bellman-Ford算法吧~。 ;Bellman-Ford算法的证明 证明： 如果起点能够到达某个负权回路，那么显然，步骤2总是会有收获。 如果起点无法到达一个负权回路，那么当所有点的dist值到达最低值时，步骤2就不再有收获了。 而一条最短路径一定没有环，即一条最短路径经过的边数一定不会超过n-1（经过了所有其他的点），所以n-1轮后，任何一个点作为终点的最短路径一定已经求得。 时间复杂度显然是O(ne) ;Dijkstra算法 如果边权没有负值，可以用Dijkstra算法求解单源最短路径问题。 在学习算法的同时思考下为什么存在这个限制条件？;Dijkstra算法 算法流程： 初始化所有点的dist值为+∞，起点的dist值为0 从所有点中找到未被标记的dist值最小的点x，将x点标记 检查所有x引出的边，用x点的dist值与这条边的权值之和更新这条边指向的点的dist值（ “松弛操作”） 重复步骤2和3直到所有点都被标记 ;Dijkstra算法;Dijkstra算法 一个点的dist值就是“已知的从起点到达它的最短路径长度” 如果记下每个点的dist值最后一次更新是由哪条边的松弛操作完