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第三节 克莱姆法则
* 返回 §3 克莱姆法则 一、克莱姆法则 二、齐次线性方程组有 非零解的充要条件 (14) 定理二 （克莱姆法则） 设线性方程组 的系数行列式 一、克莱姆法则 (15) 则线性方程组(14)有唯一解: (16) 其中 (第i行) (第j列) 证明: 先验证(16)是(14)的解, 即验证: D≠0 ? 按第1列展开 按第2列展开 按第n列展开 因为 (17) 由定理一及引理 再证(14)只有一个解. 0 0 0 将以上 n 个恒等式相加, 就有 根据定理一及其推论, 上式为 证毕. 用克莱姆法则解线性方程 组时, 必须具备两个条件: 注意 1. 未知数个数 = 方程个数; 2. 系数行列式≠0. 齐次线性方程组: (18) 定理三. 若齐次线性方程组(18)有非零解,则(18)的系数行列式D=0. 证明: 反证. 若 D≠0, 由克莱姆法则知(18)只有零解. 矛盾! 证毕. 二、齐次线性方程组有非零解的充要条件 注: 由定理三可知, 方程组(18)的系数行列式 D=0是方程组(18)有非零解的必要条件. 在第四章将会看到, D=0也是齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件. 齐次线性方程组(18)有非零解的充要条件是系数行列式 D=0. 说明: (1). D≠0 (18)有唯一解,即零解. (3). (18) 有非零解 (有无穷多组解). 综合上述, 得到: (2). (18) 有零解: 例1. 解线性方程组 解: 又因为 例 用 Cramer 法则解线性方程组 解 因为 所以 例2. 解: 其系数行列式 所以有唯一解. 又因为 * 返回
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