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第七节 初等方阵
* 返回 §7 初等方阵 一、初等方阵的概念 二、利用初等变换求逆矩阵 如: = 记 E(2,3). 一、初等方阵的概念 又如: 注意: = = 初等方阵有三类: (1). 由单位矩阵E经过一次初等变换而得到 的方阵，称为初等方阵.(定义15) (2). 初等方阵均为可逆阵, 其逆阵仍为初等方阵. (3). 则 B 等于以相应的初等方阵 P 左乘 A , 即 B = PA . 反之也成立. (行左) 即 B = AP , 反之也成立. (列右) 则 B 等于以相应的初等方阵 P 右乘 A , (4). A B B = PAQ P 为m 阶可逆阵, Q 为n 阶可逆阵. ^ 定理五:对于一m×n矩阵A作一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等方阵;对A作一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等方阵. 定理六:两个m×n矩阵A,B等价的充要条件是:存在可逆的m阶方阵P与可逆的的n阶方阵Q使A=PBQ 证明:由定理五可知 A与B等价的充要条件为 则P,Q均可逆 且A=PBQ 定理七. 若矩阵 A 可逆 存在有限个 证明: E. (即 E A). 故E 可经有限次初等变换变成 A. 即 证毕. 推论: 可逆阵总可以经一系列行变换化成单位阵. 事实上, 由定理七有 证毕. 方法： 当|A|≠0 (即A可逆), ① ② 二、利用初等变换求逆矩阵 * 返回
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