第6章 - read.ppt

第6章 线性反馈系统的稳定性 保证闭环反馈系统稳定性的问题是控制系统设计的 中心问题。 6.1 稳定的概念 6.2 劳斯—霍尔维茨稳定判据 6.3 反馈控制系统的相对稳定性 6.4 状态变量系统的稳定性 6.5 设计实例：火车转向控制 6.6 用MATLAB分析系统的稳定性 主要内容： 6.1 稳定的概念 系统 稳定 不稳定 绝对稳定 相对 稳定 临界 稳定 一个稳定的系统被定义为系统具有有限（有界）的响应。也就是说，如果一个系统受到有界输入或扰动，并且响应的幅值也是有界的，那么系统可以说是稳定的。 稳定的系统是对于有界输入具有有界输出的动态系统. (BIBO) 一）稳定定义 由稳定的定义可引申出： 1）当且仅当脉冲响应g(t)的绝对值在整个无限区间为有限值，则该系统稳定。 2）反馈系统稳定的充分必要条件为系统传递函数所有 的极点必须具有负的实部，即闭环系统的所有极点必须 位于复平面的左半区域 。 在脉冲输入下： 二）不稳定的定义 如果系统特征根不全在左半平面上，系统称为不稳定， 即有一个或多个特征根在复平面的右半平面。 不稳定的例子：第一座横跨塔科马海峡的大桥 三）临界稳定的定义 如果系统特征根除了位于虚轴上的一对根外其余均位于左半平面，除了在频率等于虚根幅值的正弦输入（为有界输入）下的输出是无界，其余有界输入作用下的稳态响应均为持续振荡，此时称系统为临界稳定。 以二阶系统为例： 是二重根。 6.2 稳定判据 （1）S-平面法 （2）频域面法（jw） （3）时域法 最基本方法：求传递函数的极点 一）必要性判据 注意到：多项式系数具有相同的符号且非零是系统稳定的必要条件。 系统稳定 多项式系数具有相同的符号且非零. 例1： 虽然多项式的系数都为正,但系统是不稳定的。 因为多项式的系数符号不同, 所以系统是不稳定的。 本节重点讲述S-平面法中的 Routh-Hurwitz（劳斯-霍尔维茨 ）稳定判据， 它是充分必要条件. 劳斯—霍尔维茨稳定判据是基于特征方程的系数 将上述特征方程系数排列成如下阵列形式： 二）充要判据 更多行的完整的表如下所示： 劳斯—霍尔维茨判据表明，特征多项式中具有正实部根的个数等于劳斯表中第一列元素符号变化的次数。 由此可得到系统稳定的充要条件是表中第一列元素的符号没有变化。 （1）第一列元素均不为零； （2）第一列元素中有元素为零，且为零的这一行的其 他元素不全为零 （3）劳斯表中出现全零行； （4）同（3）并在虚轴上有重根。 情形1：第一列元素均不为零 例2：以二阶系统为例 劳斯表如下： 该二阶系统稳定的充分必要条件仅为特征式所有的系数为 正或所有的系数为负。 例3：以二阶系统为例 劳斯表为： 为使该三阶系统稳定的充分必要条件是特征式的系数全为正，且 。 例4：判断不稳定根的个数。 该多项式满足所有的必要条件, 即所有的系数非零且均为正。但并不能说明系统稳定，其劳斯表为 由于第一列的元素的符号变化两次， 发现在右半平面有两个根。 情形2：第一列元素中有元素为零，而为零的这一行的 其他元素不全为零。如果劳斯表中只有一个零元素， 那么我们可以用一个逼近零的极小正数 来代替。 例5： 则劳斯表为： 因此产生了两次符号的变化，所以系统不稳定，有两个特征根位于右半平面。 例6：不稳定系统 劳斯表为： 不论k为何值系统均不稳定。 情形3：劳斯表中出现全零行。当劳斯表中出现全零行，用全零行上面的一行系数构造辅助方程u(s)。 例7：考虑 劳斯表为 该系统稳定的充分必要条件是 当 时，系统有两个虚根，系统临界稳定。我们得到含有全零行的劳斯表，用全零行上一行的系数构造辅助方程 。在该例中由s2 行得辅助方程为 情形4：特征方程在虚轴上有多重根 如果特征方程在虚轴上存在一对纯虚根，那么系统既 不能称稳定也不能称不稳定，我们称为临界稳定，系 统响应呈无阻尼正弦振荡模式。如果出现多重共轭虚 根，系统响应将不稳定，呈 的形式。 例8： 其劳斯表为 注意到劳斯表的第一列没有符号变化， 该条件无法指明系统处于临界稳定。 s2行系数构造的辅助方程为 s4行系数构造的辅助方程为 例9：机器人控制 其劳斯表为 因此辅助方程为 系统不稳定 例10: 焊接控制