因动点产生的等腰三角形的专题(答案).docVIP

因动点产生的等腰三角形 图像上的点A、B的坐标分别为（2，m）、 （n，2），点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标. 解：因为A（2，m）、B（n，2）在y＝上，所以m＝，2＝，解得：m＝4,n＝4，所以A（2，4）、B（4，2）. 因为点C在x轴上，所以设C（x，0）， 则AB＝＝2，AC＝＝，BC＝＝. 若△ABC为等腰三角形，分三种情况讨论： AB＝AC，即＝2，整理得x2─4x＋12＝0，因为△＜0＝2，整理得x2─8x＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝6，所以C（2，0）（如 图1-4）；C（6，0）（因为A、B、C三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5，所以舍去）. BC＝AC，即＝，解得：x＝0，所以C（0，0）（如图1-6）. 所以这样的点C有两个，C（2，0）或（0，0）. 2、如图，点A（m，2）是正比例函数和反比例函数的交点， AB⊥y轴于点B，OB = 2 AB. （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标； （3）在y轴上是否存在一点D，使△ACD为等腰三角形，若存在，请求出 点D的坐标，若不存在，请说明理由. 解：（1）因为AB⊥y轴于点B，OB＝2 AB，点A（m，2）所以OB＝2，AB＝1，所以A（1，2）， 因为A（1，2）在y＝kx（k ≠ 0)上，所以k＝2，所以y＝2x. 又因为A（1，2）在y＝（k ≠ 0)上，所以k＝2，所以y＝. （2）因为A（1，2），正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，所以C（ ─ 1，─ 2 ）. （3）存在. 因为点D在轴上，D（0，y），则AC＝＝2，AD＝， CD＝ 若△ACD为等腰三角形，分三种情况讨论： AC＝AD，即2＝，整理得y2─4y─15＝0，解得y＝2±，所以D（0，2＋） 或（0，2─） AC＝CD，即2＝，整理得y2＋4y─15＝0，解得y＝─2±，所以D（0，─2 ＋）或（0，─2─）. AD＝CD，即＝，解得y＝0，此时点D与原点重合，舍去. 所以这样的点D有四个，D（0，2＋），（0，2─），（0，─2 ＋），（0，─2─）. 3、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90°，BC=12，AD=18，AB=10．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当点P在线段DA上运动时，连接BD，若ABP=∠ADB，求t的值；（2）当点P在线段DA上运动时，若以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切，求t的值；（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请直接写出t的值；如果不能，请说明理由． 4、如图，在中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形. （1）的面积； （2）当边与重合时，求正方形的边长； （3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域； （4）当是等腰三角形时，请直接写出的长． 5、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由，BO＝CO，得PH＝BH＝2)、(1,)或(1,0)． 第（3）题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)． 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)． ②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得． 此时点M的坐标为(1,)或(1,)． ③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点