第5-3讲 阿贝尔群及循环群.pptVIP

第5-3讲 阿贝尔群与循环群 1. 阿贝尔群 2. 循环群 1、阿贝尔群（1） 1、阿贝尔群（2） 1、阿贝尔群（3） 2、循环群(1) 2、循环群(2) 2、循环群(3) 2、循环群(4) * * 定义1 如果群G,*中的二元运算*是可交换的,则称该群为阿贝尔群，也叫交换群。 例1 证明1、2、3、4阶群都是交换群。 解：群G,*的运算表中的每行（列）都是G中元素的一个置换。因此很容易得出1、2、3、4阶群的运算表，不论其元素是什么，只要它们构成群，其群表的形式是固定不变的。由群表可知， 1、2、3、4阶群都是交换群 四阶群{1，2，3，4},*的群表有四种形式： 定理1 群G,*是阿贝尔群的充分必要条件是: 对任意a,b?G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。 证：充分性。对任意a,b?G，如果 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 那么，a-1*(a*b)*(a*b)*b-1=a-1*(a*a)*(b*b)*b-1 由结合性，可得 (a-1*a)*(b*a)*(b*b-1)=(a-1*a)*(a*b)*(b*b-1) 化简得 b*a=a*b 这说明*运算是可交换的。 必要性。若群G,*是交换群，则对任意a,b?G，有 (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) 定义2 如果群G,*有元素a，使得G中任意元素都可表示成a的幂，则称该群为循环群。a叫生成元。 例2 说明I,+是循环群。 解：I,+是群。幺元是0。任意a?I,其逆元为-a。 生成元是1，对任意k?I 练习 设G={?,?,?,?},定义G上的运算*如下表,说明G,*是循环群。 解: (1)由运算表可知运算封闭； (2)可验证运算*是可结合的； (3)?是幺元； (4)?,?,?的逆元分别是?,?,?。 所以，G,*是群 ?,?都是生成元： ?1=?，?2=?，?3=?*?=?，?4=?*?=?； ?1=?，?2=?，?3=?*?=?，?4=?*?=?。 ?不是生成元： ?1=?， ?2=?， ?3=?*?=?， ?4=?*?=?2=?。 定理2 循环群是阿贝尔群。 证明： 设G,*是循环群，生成元是a。 对任意x,y?G,可令x=ar, y=as。r,s为整数。那么 x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x 这就证明了循环群G,*是阿贝尔群。 定理3 设a是n阶有限循环群G,*的生成元，则an=e，且 G={a,a2,a3,…,an-1,an=e} 其中，e是幺元，n是使an=e的最小正整数。 证明：（用反证法）假定am=e ,m是正整数，且mn。 按所设，G中任一元素皆可表示成ak,令k=mg+r,其中g是整数，0 ? r m。于是 ak=amg+r=(am)g*ar=ar 这说明G中任一元素皆可表示成ar,从而G中至多只有m个 不同的元素，与|G|=n(m) 矛盾。 剩下的问题是要证明a,a2,a3,…,an-1,an是不同的元素。 假设ai=aj,1?ij?n，那么e=ai*a-i=aj*a-i=aj-i,1?j-in。按假设，n是使an=e的最小正整数，所以ai=aj不可能。