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第4章 非线性系统的建模与仿真 陈无畏 合肥工业大学机械与汽车工程学院 4.1 非线性系统的数学模型 4.1.1 非线性连续系统的数学模型 一个阶单变量系统一般可描述为 (4.1) 系统的初值为 4.1.1 非线性连续系统的数学模型（续） 4.1.2 非线性离散系统的数学模型 一个单变量非线性离散系统可描述为 (4.13) 差分方程的初值为 4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续） 4.2 非线性系统的数字仿真 4.2 非线性系统的数字仿真（续） 4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续） 4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续） 4.1.2 非线性离散系统的数学模型（续） 4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真 4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续） 4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续） 在方程中，当无非线性干扰时 即 ， 其解可表示 式中 ， 和 是决定 于初始条件的常数。 4.3 非线性系统自由振动的建模与仿真（续） 4.4 非线性系统强迫振动的建模与仿真 4.4 非线性系统强迫振动的建模与仿真 * LOGO 系统建模与仿真 分类及表征： 按时间变量的不同，系统可以 分为连续系统与离散系统。对于连续系统，数学模 型主要是基于微分方程或微分方程组来表征的；而 离散系统的数学模型主要是基于差分方程或差分方 程组来表征的。 其中 为系统的输出， 为系统的输入。式(4.1) 可等价地写为 （4.2） 其中F表示非线性关系。与连续非线性系统 不同的是，非线性差分方程的解一般是存在的。 多变量非线性离散系统可由P个(P为系统输出的 个数) 非线性差分方程描述。 饱和非线性 失灵区非线性 齿轮间隙(磁滞回环)非线性特性 典型非线性环节仿真子程序 4.2.1 典型非线性环节仿真子程序 1.饱和非线性 图4-1饱和非线性特性图 4-2饱和非线性仿真程序 2.失灵区非线性 图4-3 失灵区非线性特性 图4-4 失灵区非线性仿真子程序 3.齿轮间隙(磁滞回环)非线性特性 图4-5 齿轮间隙非线性特性 图4-6 齿轮间隙非线性子程序 4.2.2 含有非线性环节的离散相似法仿真程序的设计方法 当系统中有上述典型非线性环节时，使用离散相似法仿真需要注意以下几点： (1)对每个环节要增设一个参数 Z(I),它表示第 I个环节的入口或出口有哪种类型的非线性环节 。 (2)对每个环节要增设一个参数C(I)，它表示第 I个环节入口的那个非线性环节的参数 ，当I第个环节没有非线性环节时， C(I) =0。 (3)一个完整的面向结构图的离散相似法仿真程序框图如图4-7所示： 图4-7 离散相似法仿真程序图 线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够准确地反 映振动的客观规律。 根据描述振动 的数学模型的不同， 振动理论分为 线性振动理论 和非线性振动理论 不同于线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。 已知单自由度系统自由振动的方程为 (4.20) 式中 ——正的小参数 ——振动位移 —— 和 的非线性函数，即非线性力。 (4.21) 如有非线性干扰，即 ，根据大量的 试验和观察，方程的解中将出现高次谐波，瞬时 频率 与振幅的大小有关，以及振幅增长或减 小的现象。 如果在振动系统中作用有外干扰力 ， 则此时振动方程为 (4.37) 这是单自由度非线性系统强迫振动的方程式。当 时，其解为 (4.38) 其中，a和 为由初始