第3章 连续信号及正交分解.ppt

第3章 连续信号的正交分解 3.1 引言 3.2 正交函数集和信号的分解 3.3 信号表示为傅里叶级数 3.4 周期信号的频谱 3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱 3.6 常用信号的傅里叶变换 3.7 周期信号的傅里叶变换 3.8 傅里叶变换的基本性质 3.9 Parseval定理与能量频谱 3.1 引言 复杂信号可以分解成单位冲激函数的叠加 LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征 信号分析——研究信号如何表示为各分量的和 通常用正交函数集作为单元函数 三角函数集 3.2 正交函数集和信号的分解 1. 矢量的分量 两矢量V1与V2正交时的夹角为 。矢量V1在V2上的分量为c12V2，则 所以系数 分析 若V1与V2正交，则θ=90°, cosθ=0，此时系数c12=0。 这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。因此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下： 给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量Ve = V1? c12V2 的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。 当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。 当V1=V2 时， c12=1 2. 矢量的正交分解 平面矢量的正交分解 2. 矢量的分解 三维空间矢量的正交分解 2. 矢量的分解 推广到n维情况 3.2.2 信号的正交分解 1、正交函数——设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为 设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。 式中， “*”代表取共轭复数。将上式右边展开， 得 据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使误差能量Ee最小，于是有 若f1(t)、f2(t)正交，c12应为零。因此 2. 信号的正交展开 设有一函数集｛g1(t), g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1, t2)上，如果对于所有的i、 j(可取1, 2, …，N)都有 例如,三角函数集 ｛1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝在区间（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为 1.三角傅里叶级数 周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和，即f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数展开。 f(t)应满足狄利克雷条件。 根据三角函数的运算法则,上式还可以写成。 说明 实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波，而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差 n愈大，即所取级数项数愈多，方均误差愈小。 方均误差趋于零。 例3-1 将下列方波信号展开成三角级数 解：要把函数展开成三角级数，只要求得分量系数a和b。 因此，该非周期信号在区间（0，T）内可以表示为 2. 复指数傅里叶级数 任意函数 ，可在区间（t0,t0+T）内用此函数表示为 根据欧拉公式 且考虑到An是n或频率的偶函数，而 是奇函数 因此 由于其数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多。 3. 4 周期信号的频谱 下面以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱的特点。 设有一幅度为A,脉冲宽度为τ的周期性矩形脉冲,其周期为T,如图所示，试求其傅里叶系数 画出了T=5τ、A=1的周期性矩形脉冲的频谱。 周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。  第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。  第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|An|→0。 1. 频谱与周期的关系 2. 频带宽度与脉宽的关系 3. 频带宽度 非周期信号周期足够长的周期信号来处理。因此,我们可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱。 当周期T无限趋大时， 傅里叶变换对 频谱密度函数 从物理意义上理解傅里叶变换： 是一个密度函数的概念 是一个连续谱 包含了从零到无限高频的所有频率分量 各频率分量的频率不成谐