第3章 函数逼近及曲线拟合.ppt

对函数类A中给定的函数 f(x),记作f(x)∈A, 要求在另一类简单的便于计算的函数类 B 中求函数 p(x)∈B ,使 p(x)与 f(x)的误差在 某种意义下最小.函数类A通常是区间[a, b] 上的连续函数,记作C[a, b],称为函数逼近空 间;而函数B通常为n次多项式,有理函数或分 段低次多项式等. 1)线性相关与线性无关 设集合S是数域P上的线性空间,元素x1,x2,…,xn∈S,如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P,使得 在Rn上的向量 x＝(x1,x2,…,xn)T∈Rn, 三种常用 范数为称为： 权函数定义：设[a, b]是有限或无限区域，在[a, b]上的非负函数?(x)满足条件 （1） 存在且为有限值（k=1,2，…） （2）对[a, b]上的非负连续函数g(x)，如果 ，则 则称?(x) 为 [a, b]上的一个权函数。 2)如何构造正交多项式 只要给定区间[a, b]及权函数,均可由一组线性无关的幂函数{1,x,…, xn,…},利用逐个正交化手法构造出正交多项式序列 如此得到的正交多项式有如下性质： (1) 是具有最高次项系数为1的n次多项式 3）几种常用的正交多项式 勒让德多项式 当区间[-1,1],权函数ρ(x) ≡1时,由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为勒让德多项式,并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),…表示. 其简单的表达式为 最高项系数为1的勒让德多项式为 时,由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就是切比雪夫多项式,它可表示为 Tn(x)=cos(n arccosx), | x |≤1 若令x＝cosθ，则Tn(x)=cos nθ， 0≤θ≤π. (1)递推关系 (2)切比雪夫多项式{Tk(x)}在区间[-1,1]上带权 正交且 (3) T2k(x)只含x的偶次幂,T2k+1(x)只含x的奇次幂. 3.3 最佳一致逼近多项式 最佳一致逼近多项式 是讨论 f∈C[a, b],在Hn=span{1,x,…xn}中求多项式 , 使其误差 这就是通常所指的最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题. 若记集合的下确界为 则称之为f(x)在[a, b]上的最小偏差 . 最佳逼近多项式 假定f(x)∈C[a, b],若存在Pn*(x)∈Hn使 Δ(f, Pn*(x))＝En, 注意,定义并未说明最佳逼近多项式是否 存在,但可以证明下面的存在定理. 定理 ： 若f(x)∈C[a, b],则总存在Pn*(x)使 偏差点定义 设f(x)∈C[a, b]，P(x)∈Hn，若在x＝x0有 由于函数P(x)－f(x)在[a, b]上连续,因此,至少存在一个点x0∈[a, b]使 这样的点组称为切比雪夫交错点组 . 切比雪夫定理说明用P(x)逼近f(x)的误差曲线y＝P(x)－f(x)是均匀分布的，由这个定理还可得以下重要推论. 推论 若f(x)∈C[a, b]，则在Hn中存在唯一的最佳逼近多项式。 利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多项式Tn(x)的一个重要性质，即 定理 在区间[-1,1]上所有最高次项系数为1的n次多项式中, 最佳一次逼近多项式 切比雪夫定理 给出了最佳逼近多项式P(x)的特性,但要求出P(x)却相当困难. 下面讨论n=1的情形. 假定f(x)∈C2[a, b]. 且f(x)在(a,b)内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式 P1(x)=a0 + a1x 至少有3个点a≤x1＜x2＜x3≤b，使 3.4 最佳平方逼近 最佳平方逼近及其算法 考虑在区间[a,b]上一般的最佳平方逼近问题时对f(x)∈C[a,b]及C[a,b]中的一个子集 若存在 例：求 在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式 解法1：设 从而法方程组为 得 故所求的最佳平方逼近多项式为