第2章线性时不变系统及时域分析(信号及系统).ppt

二、离散时间系统的单位样值响应 零状态系统 单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。 同样，单位样值信号δ(n)仅在n=0时刻等于1，其它时刻δ(n)=0，因此系统在n0时的响应是零输入响应。 因为是差分方程的时域求解，除了有类似于以上单位冲激响应求解的方法外，还可以用迭代法求解响应。 下面还是通过举例，说明单位样值相应的求解。 例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。 解、此时以上方程可以写成 解法一（迭代法）：将方程写成如下形式 考虑到系统是因果的和零状态的，当n=0 当n=1 当n=2 同样，在大多数情况下不易得到封闭的解。 解法二： 由因果性与零状态条件，通过迭代求得一组初始条件，进而求n0时的零输入响应。 设在n0以后 由以上 所以 求得 考虑到 所以 解法三： 方法二中的初始条件是由h(-2)=h(-1)=0和δ(0)=1迭代得来的。二阶系统，确定系数有两个条件足够，我们可以用n=-1和0时的条件，进而求n≥0时的零输入响应。 设在n≥0以后 将 作为条件 所以 例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。 解、此时以上方程可以写成 解法一：先用迭代法，求得h(0)=1，h(1)= -1/6 ，再 设在n≥0以后 因此 所以 解法二： 将以上方程看成是以下两方程的和 所以有 考虑到系统的线性与时不变性 系统的单位样值响应 由前例可知 所以 零状态系统 因为求的是回路中的电流，根据元器件的约束： 因为回路的输入电压 所以，当t0时 当-∞＜t＜∞时 系统方程只涉及到输入信号：e(t)与输出信号：i(t)，因此称其为输入输出方程。方程中各项的系数均是常数，且左边的各项，就是输出信号与其各阶导函数的组合，因此称方程为常系数线性微分方程。 N阶常系数线性微分方程的一般形式为： 它是N阶线性时不变系统的系统方程。系统的输入是x(t)，输出试y(t): LTI 再例如：互耦电路如下，以次级回路电流为输出，试列出系统的输入输出方程。 由（2）式： 代入（1）式，并将结果求一次导数后，再代入一次得到： 二、 常系数线性差分方程 1、 常系数线性差分方程 线性时不变离散时间系统，也称线性移不变系统。其数学模型是常系数线性差分方程。 例如：银行存款中的一种：零存整取。设存钱月息β，第n月存入 x(n)，此时帐上有钱y(n)，则 在利用计算机对微分方程进行运算时，要用到数值方法，就是将微分方程化成近似的差分方程来进行求解的。例如：设有微分方程 当t=nT时刻，以上方程为 其中，当T较小时 所以，以上微分方程可近似由差分方程表示 2、 常系数线性差分方程的经典解法 时域中，解差分方程的简单方法是迭代法。 例如：设有系统方程： 且已知 试求n≥0时的系统响应y(n)。 解：⑴将方程写成 ⑵迭代求解。令n=2,3,4,…，由上式可求的响应。如： 差分方程的经典解法与微分方程的解法相似，是根据系统的输入和系统在n≥0时刻的一组边界条件---初始条件，将系统的输出分解为自由响应与受迫响应求解的： §2.5 LTI系统的零输入响应 一、系统的起始条件与初始条件 所谓零输入响应，即系统输入为零，仅由系统的起始条件所产生的输出响应；零状态响应，即系统的起始条件为零，仅由输入作用产生的响应。 所谓起始条件，是指表示输入作用于系统前的时刻，系统所储能量的一组数据。对于连续时间系统，通常用 表示。对于离散时间系统，通常用 表示。 相对于起始条件，是初始条件。是指表示系统在t=0+时刻，系统所储能量的一组数据。对于连续时间系统，通常用 表示。对于离散时间系统，通常用 表示。 一般的，由换路定理可知，系统的初始条件等于系统的起始条件，但当系统方程的右边出现冲激和冲激的各阶导数时，系统的初始条件与起始条件不同，即系统在t=0时刻就发生了条件（状态）的跳变。 二、连续时间系统零输入响应的求解 此时系统方程为 由于没有输入作用于系统，系统在t=0时刻状态不会发生改变，此时t=0-与t=0+的状态应该是相同的。 即系统方程为齐次方程，其解应该