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第2章 误差及基本性质及处理
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时,得到一系列不同的测量值(常称为测量列),每个测量值都含有误差,这些误差的出现没有确定的规律,即前一个数据出现后,不能预测下一个数据的大小和方向。 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成,主要有以下几方面原因: ① 测量装置方面的因素 ② 环境方面的因素 ③ 人为方面的因素 由于随机误差因素的作用,多次测量结果都不相同,但就误差整体而言,却明显具有某种统计规律。随机误差的分布可以是正态分布,也有非正态分布,多数随机误差服从正态分布。首先分析服从正态分布的随机误差的特性。 设被测量值的真值为 ,一系列测得值为 ,则测量列的随机误差 可表示为: (2-1) 式中 正态分布的分布密度 (2-2) 分布函数为 (2-3) 式中:σ——标准差(或均方根误差) e——自然对数的底,基值为2.7182……。 它的数学期望为: (2-4) 它的方差为: (2-5) 从以上分析推导出: ① 分布具有对称性,即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等,这称为误差的对称性; ② 单峰性,即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多,这称为误差的单峰性; ③ 虽然函数的存在区间是[-∞,+∞],但实际上,随机误差δ只是出现在一个有限的区间内,即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性; ④ 随着测量次数的增加,随机误差的算术平均值趋向于零:这称为误差的抵偿性。 当测量次数无限增加时,算术平均值必然趋近于真值Lo。 即 结论:如果能够对某一量进行无限多次测量,就可得到不受随机误差影响的测量值,或其影响可以忽略。这就是当测量次数无限增大时,算术平均值(数学上称之为最大或然值)被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量,因此,我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。 残余误差 算术平均值代替被测量的真值,此时的随机误差称为残余误差,简称残差: (2-9) 简便算法求算术平均值 任选一个接近所有测得值的数 作为参考值,计算每个测得值 与 的差值: (2-10) 式中的 为简单数值,很容易计算,因此按(2-10)求算术平均值比较简单。 例 2-1 测量某物理量10次,得到结果见表,求算术平均值。 解:任选参考值 =1879.65, 计算差值 和 列于表。 很容易求得算术平均值: (二)算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确,可用求得的残余误差代数和来校核。 由 ,式中的 是根据(2-8)计算的,当求得的 为未经凑整的准确数时,则有: (2-11) 残余误差代数和为零这一性质,可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。但当实际得到的平均值为经过凑整的非准确数,存在舍入误差△,即 经过分析证明,用残余误差代数和校核算术平均值及其残差,其规则为: ①残差代数和应符合: 当 ,求得的 为非凑整的准确数时, 为零; 当 ,求得的 为非凑整的准确数时, 为正,其大小为求 时的余数; 当 ,求得的 为非凑整的准确数时, 为负,其大小为求 时的亏数。 ②残差代数和绝对值应符合: 当n为偶数时, ; 当n为奇数时, 。 式中的A为实际求得的算术平均值 末位数的一个单位。 以上两种校核规则,可根据实际运算情况选择一种进行校核,
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