第1章系统及状态空间法.ppt

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2017-09-09 发布于浙江
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第1章系统及状态空间法.ppt

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第1章系统及状态空间法

X=P–1X ~ 设： A的特征值： ?1、 ?2、… ?n 特征矢量： p1 p2 …pi …pn 证明 ~ A= P–1AP ? 1 0 0 … 0 0 ? 2 0 … 0 … … … … 0 0 0 … ? n A= ~ 证明： X=P–1APX+ P–1BU ~ ~ ? X=AX+BU ~ ~ ? ~ ~ ~ 若Pi是对应于?i的一个特征矢量则必满足(?iI– A)pi =0 Ap2=?2p2 Api=?ipi Ap1=?1p1 证明： Ap2=?2p2 Api=?ipi Ap1=?1p1 … … Api=?ipi Apn=?npn 写成矩阵形式： [Ap1 Ap2 …Api… Apn] =[?1p1 ?2p2 …?ipi… ?npn] A[p1 p2 …pi… pn]= [?1p1 ?2p2 …?ipi… ?npn] AP= [p1 p2 …pi… pn] ? 1 0 0 … 0 0 ? 2 0 … 0 … … … … 0 0 0 … ? n 1.4 .3 化状态方程为对角线标准形 ? 1 0 0 … 0 0 ? 2 0 … 0 … … … … 0 0 0 … ? n =P 证明： AP= [p1 p2 …pi… pn] ? 1 0 0 … 0 0 ? 2 0 … 0 … … … … 0 0 0 … ? n ~ A= P–1AP ? 1 0 0 … 0 0 ? 2 0 … 0 … … … … 0 0 0 … ? n = 证毕例：试将状态方程变换为对角线标准形。 x1 x2 x3 = u 0 1 –1 + x1 x2 x3 0 0 1 · · · – 6 –11 6 – 6 – 11 5 解：(1)求系统特征值 |?I – A | = 0 1 –1 – 6 –11 6 – 6 – 11 5 ? 0 0 0 ? 0 0 0 ? – = ? –1 1 6 ?+11 – 6 6 11 ?– 5 |?I – A | = ? –1 1 6 ?+11 – 6 6 11 ?– 5 = ?3+6 ?2+11 ?+6=0 (? +1)(? +2) (? +3)=0 (2)求特征矢量对应于?1= –1 的特征矢量为p1， Ap1=?1p1 0 1 –1 – 6 –11 6 – 6 – 11 5 p11 p21 p31 = – p11 – p21 – p31 p21–p31= – p11 – 6p11– 11 p21+6p31= – p21 – 6p11– 11 p21+5p31= – p31 p21–p31= – p11 – 6p11– 10 p21+6p31= 0 – 6p11– 11 p21+6p31= 0 可以看出： p21=0 p11=p31 令 p11=1 p31 =1 求得： ? 1= –1、 ? 2= –2、 ? 3= –3 同理，将? 2= –2、 ? 3= –3分别代入 Ap2=?2p2 Ap3=?3p3 求得： 1 0 1 = p11 p21 p31 p1= 1 2 4 = p12 p22 p32 p2= 1 6 9 = p13 p23 p33 p3= 变换阵P=[p1 p2 p3]= 3 5/2 – 1 – 3 – 4 3 1 3/2 1 P–1= 1 1 1 0 2 6 1 4 9 ~ A= P–1AP 则 = – 1 0 0 0 – 2 0 0 0 – 3 ~ B= P–1B = – 2 3 – 1 ~ A= P–1AP 则 = – 1 0 0 0 – 2 0 0 0 – 3 ~ B= P–1B = – 2 3 – 1 = + x1 x2 x3 ~ · ~ · ~ · x1 x2 x3 ~ ~ ~ – 1 0 0 0