第16讲导数及概念及运算.ppt

(1)多项式相乘型的函数导数，往往把多项式展开后再利用公式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题，先把函数化成指数的形式，再利用公式求导. (3)比较复杂的函数，往往需要先化简再求导. (4)求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： ①适当选定中间变量，正确分解复合关系； ②分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)； ③把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数. 题型三 导数的几何意义 例3 已知曲线y= x3+ . （1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程; （2）求曲线过点P（2，4）的切线方程. (1)因为y′=x2, 所以在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4. 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 函数y=f(x)在点P（x0,y0)处的导数f′(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y=f(x)在P(x0,y0)处的切线的斜率,其切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0). (2)设曲线y= x3+ 与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0, x03+ )，则切线的斜率k=y′|x=x0=x02.所以切线方程为y-( x03+ )=x02 (x-x0),即y=x02·x- x03+ .因为点P（2，4）在切线上，所以4=2x02- x03+ , 即x03-3x02+4=0，所以x03+x02-4x02+4=0, 所以x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；而在点P处的切线，必须以点P为切点. 已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式. 因为f(x)与g(x)的图象都过点P(2，0)， 所以a=-8,4b+c=0,所以f(x)=2x3-8x. 又g′(x)=2bx,f ′(x)=6x2-8, 因为f(x)与g(x)在点P处有公共切线， 所以g′(2)=f ′(2),即2b·2=6×22-8,得b=4. 所以c=-16,所以g(x)=4x2-16. 综上可知，f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16. 如图，设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t). (1)求切线l的方程； (2)求S(t)的最大值. (1)因为f ′(x)=(e-x)′=-e-x,所以切线l的斜率为-e-t, 故切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t), 即e-tx+y-e-t(t+1)=0. (2)令y=0，得x=t+1,又令x=0，得y=e-t(t+1). 所以S(t)= (t+1)·e-t(t+1)= (t+1)2e-t. 从而S′(t)= e-t(1-t)·(t+1). 因为当t∈(0,1)时，S′(t)0，当t∈(1,+∞)时，S′(t)0， 所以S(t)的最大值为S(1)= . 本题主要考查函数、导函数、不等式等基本知识，同时考查分析、推理运用知识解决问题的能力. 1.导数的核心是变化率，在给定的关系式中，会两边同时对某一变量求导，得出相应的变化率. 2.导数的运算. 1°先化简，确定类型，再依次选用求导公式、运算法则进行求导. 2°求复合函数的导数，关键是选择好中间变量，如例2中的(4)y= ,若令y= ,u=v4,v=1-3x，计算就麻烦了.然后逐层求导，每一步对谁求导不能混淆，最后应把中间变量转换成自变量. 3°要弄清函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将值x0代入,求出导数值f′(x0)，导数是原来函数的导函数,而导数值是导数函数在某一点的函数值,导函数值是常数. 3.切线. 1°注意是求在点P处的切线，还是求过点P的切线.在点P处的切线以点P为切点，过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点. 2°斜率k=f′(x)不存在时,曲线在该点处并不一定没有切线,要检验直线x=x0是否为该曲线的切线. 3°直线与曲线公共点的个数