第12讲-§3.7 偏导数及微分法-少课时-2011-New.pptVIP

微积分 * * 将例中的情形进行一般性的描述 微积分 * * 定理 设 和 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可偏导,则复合函数 在 点(x,y)可偏导,且 z u v x y 微积分 * * 例. 求 解法一: 将 u,v 带入 解出偏导数; 解法二: 用链导法: 微积分 * * 设 , 求 令 则 例 解 微积分 * * 注意： 都可以看作求导运算。 微积分 * * 第3.8节 隐函数的微分法 微积分 * * 定理 则由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在(x0,y0)的导数为 微积分 * * 第3.9节 全微分 微积分 * * 1. 答案 2. 求偏导数 答案 本周练习： 3 答案 微积分 * * 答案 5 答案 4 答案 6 答案 微积分 * * 微积分 * * 常函数和指数函数 走在街上 微积分 * * 说：“被它求导一下，我就什么都没有啦！” 求导运算道：“你好，我是 ! ” 常函数和指数函数 走在街上，远远看到求导运算，常函数吓得慌忙躲藏， 指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样，我是 ！” 指数函数与求导运算相遇了，指数函数自我介绍道： “你好，我是 ” * 由偏导数的定义可知，求偏导数的方法就是一元函数的导数计算方法和利用一元函数的导数公式。 * 微积分 返 回 上一张 下一张 退 出 第三章经济变量的变化率 微积分 * * §3.7 偏导数与微分法 微积分 * * 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 微积分 * * 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，若固定 定义 y=y0时，一元函数z=f(x,y0)在x=x0可导，即极限 存在，则称A为z=f(x,y)在P0(x0,y0)关于x的偏导数，记作： 一、偏导数 微积分 * * 类似可定义z=f(x,y)在P0(x0,y0)关于y的偏导数，即 变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数 若函数 在点 处关于 在点 处可偏导. 微积分 * * 定义 z=f(x,y)在D上偏导数存在。记作 显然这里的偏导数也是作为(偏导)函数来看的。 计算偏导数fˊx(x,y)，即把y看作一个常数，对x求导数。同样的，若求fˊy(x,y)，则把x看作常数对y求导数。 微积分 * * 下面讨论偏导数的计算方法 微积分 * * 可以看出: 定义 时, 变量 y 是不变的, 实际上, 是对函数 , 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元 函数导数的定义进行的. 微积分 * * 求多元函数的偏导数 相应的一元函数的导数. 实质上是求 忘记了, 请赶快复习一下. 如果一元函数的求导方法和公式 微积分 * * 微积分 * * 微积分 * * 多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西. 求偏导数时,只要将 两 个自变量 中的某一个看成变量,其余的另一 个 自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 . 微积分 * * 例 解 微积分 * * 由定义,此例也可用下列方式求解 但最好采用前一种方法. 微积分 * * 将 y 看成常数 将 x 看成常数 例 解 微积分 * * 将 y 看成常数时, 是对幂函数求导. 将 x 看成常数时, 是对指数函数求导. 例 解 微积分 * * 以上的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元函数中去. 进行的, 但其结论可直接推广到三 微积分 * * 求 的偏导数。 解 例 微积分 * * 对多元函数来说,函数的偏导数 存在与否与函数的连续性无必然关系. 这是多元函数与一元函数的 一个本质区别. 微积分 * * 警告各位！ 偏导数的符号 是一个整体记号, 与 的商. 不能像一元函数那样将 看成是 微积分 * * 二、 高阶偏导数 多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似. 一般说来, 在区域 ? 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数 仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数 的二阶偏导数. 依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数. 仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数 微积分 * * 一般地, 若函数 f (x,y) 的 m－1 阶偏导数仍可偏 导,则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数. 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其 中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合