第12章第1节函数及傅里叶级数展开.ppt

武夷学院数学与计算机系 一、问题的提出 三、函数展开成傅里叶级数 一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 二、函数展开成正弦级数或余弦级数 三、小结 证毕. 播放 1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充 分条件； 4.非周期函数的 傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近 四、小结 思考题 思考题解答 正弦级数与余弦级数 (讨论的问题为p110---114例题涉及的内容) 定理: 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 证明 奇函数 同理可证(2) 定义 偶函数 定理证毕. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. (P 110) 和函数图象 观察两函数图形 解 所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续. 非周期函数的周期性开拓 则有如下两种情况 一寸光阴一寸金,寸金难买寸光阴 § 12.1 函数的傅里叶级数展开 一寸光阴一寸金,寸金难买寸光阴 第十二章 傅里叶级数及变换 §12.1 函数的傅里叶级数展开 §12,2 傅里叶变换 本章内容 第十二章 傅里叶级数及变换 一、问题的提出 二、三角函数系的正交性 三、傅里叶系数 四、收敛判别法 五、傅里叶级数的复数形式 六、收敛判别法证明 七、傅里叶级数的性质 在物理学中，最简单的波是谐波（正弦波）， 它可表为 ，其中 是振幅， 是 角频率 ， 是初相位. 其它的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用 一系列谐波叠加表示出来. 即 称上式右端级数是由f(x)所确定的Fourier级数.它是一种三角级数.这种级数在数学理论及应用和工程技术中都是一个很有用的工具. 本章主要讨论在什么条件下,可以把一个周期函数展开成Fourier级数,以及展开的方法(求系数). 非正弦周期函数:矩形波 不同频率正弦波逐个叠加 二、 三角函数系的正交性 1.三角级数 谐 波 三角级数 2.三角函数系的正交性 三角函数系 三角函数系的正交性与空间直角坐标系中的基本单位向量i，j，k的正交性是类似的。 问题: 2.若能展开, 是什么? 1.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数 欧拉--傅里叶系数公式 2.傅里叶级数 问题: 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 四、收敛判别法 (参见p109) 注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 例1 以 为周期的矩形脉冲的波形将其展开为傅立叶级数. 和函数图象为 所求函数的傅氏展开式为 注意: 对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数. 作法: 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 收敛于 . 例2 所求函数的傅氏展开式为 利用傅氏展开式求级数的和 证明： 证明: 例 3