第02讲：点估计和估计量及求法.pptVIP

* 江西理工大学理学院 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 第二章 参数估计 §1 点估计和估计量的求法 §2 估计量的好坏标准 §3 区间估计 引言 上一章，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，它们是进一步学习统计推断的基础. §1　点估计和估计量的求法  总体 样本 统计量 描述 作出推断 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质. 随机抽样  现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 参数估计 估计废品率 估计新生儿的体重 估计湖中鱼数 … … 估计降雨量 在参数估计问题中，假定总体分布 形式已知，未知的仅仅是一个或几个 参数. 这类问题称为参数估计. 1.1 什么是参数估计？ X1,X2,…,Xn 要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 . 现从该总体抽样，得样本 设有一个统计总体，总体的分布函数 向量) . 为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是 点估计 区间估计 为估计 ,我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,…,Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为 的估计值 . 把样本值代入T(X1,X2,…,Xn) 中，得到 的一个点估计值 . T(X1,X2,…,Xn)称为参数 的点估计量， 请注意，被估计的参数 是一个 未知常数，而估计量 T(X1,X2,…,Xn) 是一个随机变量，是样本的函数,当 样本取定后，它是个已知的数值,这 个数常称为 的估计值 . 使用什么样的统计量去估计 ？ 可以用样本均值; 也可以用样本中位数; 还可以用别的统计量 . 问题是: 1.2 矩估计法 其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 或格利汶科定理（见教材第9页） 它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 大数定律 记总体k阶矩为 样本k阶矩为 用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法. 记总体k阶中心矩为 样本k阶中心矩为 设总体的分布函数中含有k个未知参数 都是这k个参数的函数,记为： ,那么它的前k阶矩 一般 i=1,2,…,k 从这k个方程中解出 j=1,2,…,k 那么用诸 的估计量 Ai分别代替上式中的诸 , 即可得诸 的矩估计量 ： j=1,2,…,k 解: 由矩法, 样本矩 总体矩 从中解得 的矩估计. 即为 数学期望 是一阶 原点矩 例1 设总体X的概率密度为 是未知参数, 其中 X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计. 解:由密度函数知 例2 设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本 其中 0,求 的矩估计. 具有均值为 的指数分布 故 E(X- )= D(X- )= 即 E(X)= D(X)= 解得 令 用样本矩估计 总体矩 即 E(X)= D(X)= 解： 矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性 . 1.3 最大似然估计法（或极大似然估计法） 是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 , Gauss Fisher 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质 . 最大似然法的基本思想 先看一个简单例子： 一只野兔从前方窜过 . 是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 如果要你推测， 你会如何想呢? 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 下面我们再看一个例子,进一步体会极大似然法的基本思想 . 你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的 .