第01章复数及复变函数.ppt

当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。 几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。 x y o 1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域 §1.4 区 域 1. 区域的概念 邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ 0为半径的圆 | z -z 0|δ(或 0 | z –z 0|δ) 内部的点 的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。 记为Ｕ(z0 ,δ) 即， 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻域内 　　 的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。 开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集。 连通是指 区域 设 D是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域。 D-区域 边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是 D的边界点； 内点 外点 D的所有边界点组成D的边界。 P 有界区域与无界区域 若存在 R 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|R}，则D是有界区域；否则无界。 闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 2. 简单曲线（或Jardan曲线) 令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。 重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点。 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 。 z(a)=z(b) 简单闭曲线 z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线 3. 单连通域与多连通域 简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， t∈[a，b]，把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有 界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为 C的外部；还有一个是它们的公共边界。 z(a)=z(b) C z(a)=z(b) 内部 外部 边界 定义 复平面上的一个区域 B ， 如果B内的任何简单闭曲线的 内部总在B内，就称 B为单连通 域；非单连通域称为多连通域。 例如 |z|R（R0）是单连通的； 0≤r|z|≤R是多连通的。 单连通域 多连通域 多连通域 单连通域 作 业 33 　1（２）（４）； 　　　2；4（1）（3）； 　　　8（３）（４）（５）； 　　　14（２）（４）； 19； 　　　21（４）（８）（９）； 　　　22（３）（４）（６）； 1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射 §5 复变函数 1. 复变函数的定义 —与实变函数定义相类似 定义 例1 例2 o x y (z) G o u v (w) G G* w=f(z) 在几何上， w=f(z)可以看作： 定义域 函数值集合 2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义 z w=f(z) w 以下不再区分函数与映射（变换）。 在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观. 复变函数的几何意义是一个映射（变换） 例3 解 —关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2 —旋转变换(映射) 见图2 例4 解 o x y (z) x、u y、v (z)、(w) o x、u y、v (z)、(w) o 图1-1 图1-2 图2 u v (w) o 例5 o x y (z) o u v (w) o x y (z) o u v (w) R=2 R=4 3. 反函数或逆映射 例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射 ∴为多值函数,2支. 定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G* 则称 为 的反函数（