离散数学第六章 集合-集合及基本运算.pptVIP

第六章 集合 6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理 并运算：A∪B 定义：设A和B是两个集合,则 交运算、差运算 ②存在一个集合，它的元素是所有的既属于集合A，又属于集合B的元素组成，称这个集合为集合A与集合B的交集。记为A∩B ，即 A∩B={x │x?A且x?B} 交运算、差运算 ③存在一个集合，它的元素是所有的属于集合A，但不属于集合B的元素组成，称这个集合为集合A与集合B的差。记为A–B ，即 A–B={x │x?A且x?B} 集合运算性质 定理：设A、B、C是三个任意集合，则： 证明： A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） 对称差 定义2：A,B是两个集合，存在一个集合，它的元素是所有的或者属于A不属于B，或者属于B不属于A，称它为集合A和集合B的对称差，记为A⊕B，即： 　　A⊕B={x│x?A且x?B,或x?B且x?A} 命题 (p65) A⊕B = (A∪B)–(A∩B) 例：（A ⊕ B）⊕ C = A ⊕（B ⊕ C） 例1 (p66) (A-B)∪(A-C)=A在何条件下成立？ 再证，若A∩(B∩C)=?, 则(A-B)∪(A-C)=A成立。 例2 (p66) 已知A⊕B=A⊕C，证明B=C。 有限并、有限交 设Pi (1≤i≤k)是k个任意集合, 推论 (p67) 设A, Pi (1≤i≤k)是k+1个集合, 则 可数并、可数交 设Pi (i?N)是任意集合, 广义并、广义交 广义并、广义交 设D是一个集合簇，也可以认为是一个以集合为元素的集合。我们要求D不是空集合。我们令： 例3 (p67) 设 Sa={x│0≤xa} ，其中a是一个正实数。 幂集 定义3： A是一个集合，存在一个集合，它是由A的所有子集为元素构成的集合， 称它为集合A的幂集合， 记为ρ(A) ，也记为2A 。 第六章 集合 6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理 ① 存在一个集合，它的元素是所有的或者属于集合A，或者属于集合B的元素组成，称这个集合为集合A与集合B的并集。记为A∪B ，即 A∪B={x │x?A或x?B} A∪B A∩B A–B 幂等律 A∪A=A A∩A=A 交换律 A∪B= B∪A A∩B= B∩A 结合律 A∪（B∪C）=（A∪B）∪C A∩（B∩C）=（A∩B）∩C 分配律 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） 对于任意的x，若x? A∪(B∩C)，则 x? A，或x?B∩C 。 当x? A，则x? A∪B 且x? A∪C，所以 x? (A∪B)∩(A∪C) ； 当x?B∩C，则x?B 且x?C，就有x? A∪B, 且x? A∪C， 所以 x? (A∪B)∩(A∪C) 。 故 A∪(B∩C)?(A∪B)∩(A∪C) 反过来，若x? (A∪B)∩(A∪C)，则 x? A∪B, 且x? A∪C 由x? A∪B 得x?A 或x?B； （1） 由x? A∪C 得x?A 或x?C 。 （2） 于是，当x?A，有x? A∪(B∩C)； 当x?A，由(1)和(2)， x?B 且x?C，有x?B∩C ，所以x? A∪(B∩C)。 故 (A∪B)∩(A∪C) ?A∪(B∩C) 综上知， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。 A⊕B 由定义，不难知： A⊕B = (A–B)∪(B–A) A⊕A = ? A⊕? = A 证明：对于任何一个x,若x?A⊕B，则x?A–B或x?B–A。 若x?A–B，则有x?A且x?B ， 从而有x? A∪B且x? A∩B ，所以x? (A∪B)–(