离散数学---集合及基本运算.pptVIP

3.2 集合的基本运算 集合的交、并、差、补、对称差 集合相等的证明 并集union 定义：设A，B是两个集合，所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A?B; A?B={x?x?A ? x?B}。 交集intersection 定义：A，B是两个集合，即属于A，又属于B，称为集合A与B的交集，记为A?B。即A?B={x?x?A ? x?B} 广义的并集 集合的并(union)：集合A和B的并A?B定义为：A?B = {x | x?A或者x?B}，集合的并可推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的并定义为： A1?A2∪…?An = {x | 存在某个i，使得x?Ai} 广义的交集 集合的交(intersection)：集合A和B的并A?B定义为：A?B = {x | x?A而且x?B}，集合的交也可推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交定义为： A1∩A2∩…∩An = {x | 对所有的i，都有x?Ai} 集合的交并例题1 例如：集合A={x?-2＜x＜2，x?R}， B={x?0≤x≤4,x?R} 求A∪B，A∩B 。 解： A∪B={x?-2＜x＜2或0≤x≤4,x?R} ={x?-2＜x≤4,x?R} A∩B={x?-2＜x＜2且0≤x≤4,x?R} ={x?0≤x＜2,x?R} 集合的交并例题2 设A为奇数集合，B为偶数集合，求A∪B和A∩B 。 解：A∪B={x?x是偶数或x是奇数}=Z A∩B={x?x既是偶数又是奇数}=? 集合的交并例题3 设A1={1，{2，3}}，A2={2，{1，3}}， A3={3，{1，2}}， 求A1∩A2，A1∩A3，A2 ∩ A3。 解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没有相同元素，∴A1∩A2=A2∩A3=A3∩A1=? 不相交 如A∩B=?称A，B不相交。 集合的差 设A，B是两集合，属于A而不属于B的元素全体称为A与B的差集，记作A-B， 即A-B={x?x?A∧x?B}。 补集(complement set) 集合A的补集，记为～A，是那些不属于集合A的元素所构成的集合， 即～A={x | x?A}。 通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素所构成的集合。 显然，?A=E-A。 求证A-B=A??B 证明 A-B={x|x?A-B} ={x?x?A∧x?B} ={x?x?A∧x??B} =A??B 对称差 定义：设A，B是两集合，集合（A-B）?（B-A）称为集合A，B的对称差，记作A?B。 即A?B={x?x?A且x ?B?x?B且x ?A} ={x?(x?A∧x ?B)?(x?B∧x ?A)} A?B=(A?B)-(A?B) 对称差举例 例1、A={a,b,e} B={a,c,d} 解：B-A={c,d} A-B={b,e}， A?B={c,d,b,e} 例2、A={x?x?-2,x?R},E={x?x≤2}求?A，A?A。 解：?A= {x??x?-2}={x?-2≤x≤2，x?R} A-A=? ∴A?A=(A-A)?(A-A)=???=? 集合运算性质（运算律） 1、??? 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A 2、? 结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C） （A∩B）∩C=A∩（B∩ C） 3、 分配律 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C) 4、幂等律 A∪A=A，A∩A=A 5、同一律 A∪?=A,A∩E=A 9、 德摩根律?（A∪B）=?A∩?B 6、零一律 A∩?=?，A∪E=E ?（A∩B）=?A∪?B 7、补余律 A∩?A=?，A∪?A=E 10、双重否定律?（?A）=A 8、吸收律 A∪（A∩B）=A 注：A-B=A∩?B A∩（A∪B）=A 集合相等的证明的方法 一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略） 证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） (1)?x?