矩阵及秩和解及存在定理.pptVIP

§3 矩阵的秩和解的存在性定理 一、秩的定义 例1：求矩阵的秩 例2：求矩阵的秩 例3 ：求矩阵的秩 求秩方法 例4 求秩和一个最高阶非零子式. 二、线性方程组解的存在性定理 n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性 例6 例6 n元齐次线性方程组Ax = 0解的存在性 例 7 三元齐次线性方程组 例 8 三、秩的性质 §3 矩阵的秩和解的存在性定理 * 目的要求 （3）掌握非齐次线性方程组解的存在性 （1）理解矩阵秩的定义 （2）掌握求矩阵秩和最高阶非零子式的方法 （4）掌握齐次线性方程组解的存在性 （5）掌握矩阵秩的性质 定义1：在矩阵A中任取k行k列，位于这些行与列相交处的元素按照原来相应位置构成的k阶行列式叫做矩阵的 k 阶子式. 共 个. 为一阶子式； 为二阶子式； 为三阶子式. 定义2：如果矩阵 A 中 则称 D 为 A 的一个最高阶非零子式. (2) 所有的 r+1阶子式(若有的话)都等于 0 称数 r 为矩阵 A 的秩. 矩阵 A 的秩记成 R(A). 零矩阵的秩规定为 0 . (1) 有一个r阶子式 D ≠0， 4个三阶子式全为零 解： 又 三阶子式共有4个，全为零 二阶子式共有18个，全为零 解： 注： 所有4阶子式均为0，而 解： 定理1：行阶梯形矩阵秩等于非零行行数． 定理2: 若 证 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变． ). ( ) ( B R A R = 因此 B A ，则 经一次初等行变换变为 若 ，则 A B 可经一次初等行变换变为 而 证毕 求秩方法： 解释： 矩阵经过有限次行（列）初等变换后其秩不变. 用初等变换把矩阵 A 化成行阶梯形矩阵， 矩阵A 的秩 = 此行阶梯形矩阵的秩. 解： 解： 分析：若改成求解 ,则出现0=1矛盾方程，无解. 无解 出现0=1矛盾方程 方程组无解 方程组有唯一解 方程组有无穷多组解 方程组有解 方程组有唯一解 ,方程组无解 ,方程组有无穷多解 解一： 讨论当t 为何值时， （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解，求通解. 方程组有唯一解 解二： 讨论当t 为何值时， （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多解，求通解. ,方程组无解 ,方程组有无穷多解 通解为 有非零解 只有零解 是否有非零解？ 解： 有非零解 问 何时有非零解？ 解一： 有非零解 解二： 有非零解 2)若有s阶非零子式，则 3)若所有t阶子式为零，则 4)n阶方阵 ，若 ；否则 5) 则 6) 可逆，则 7) 乘可逆矩阵秩不变 可逆方阵 证明： A的最高阶非零子式总是（A，B）的 非零子式，所以 同理有 即为 设 证明： 证明： 设A为 矩阵，B为 矩阵，则 X为 矩阵. 将矩阵X，B按列分块 设 且A的行最简行为 则 的 后m-r行全为零行.再设 后m-r个元全为零 后m-r行全为零 证明： 知， 由 有解X=B. 乘积的秩 不超过 第一个因子的秩 乘积的秩不超过每个因子的秩