电磁场及电磁波03.pptVIP

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电磁场及电磁波03

电磁场与电磁波 静电场和恒定磁场中的基本方程 静电场中的基本方程 媒质的本构关系 恒定磁场中的基本方程 媒质的本构关系 静电场和恒定磁场中的基本方程 静电场中的拉普拉斯方程和泊松方程 电场强度可以表示为电位的负梯度: 代入基本方程(1)得到: 静电场和恒定磁场中的基本方程 恒定磁场中的矢量泊松方程 磁通密度可以表示为磁矢位的旋度: 代入基本方程(1)得到: 该式称为矢量泊松方程。它可以分解为三个坐标轴下的标量泊松方程: 3.1 边值问题的类型 什么是静电场边值问题 之前主要讨论了无界空间中的静电场和恒定电场问题。实际中还会遇到在给定边界条件下求有界空间的静电场和恒定电场的问题,这类问题通常称为边值问题。 已知有界区域中的存在(静)电场的源及有界区域边界上电场的边界条件,求解电场的问题 可以分为两步求解:先求解电位φ,再求电场强度E。求解电位φ就是求解 满足给定边界(边值)条件的电位的定解问题。 3.1 边值问题的类型 静电场和恒定电场的边值问题,可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。 3.1 边值问题的类型 边值问题的分类 已知场域边界面S上各点电位的值,即 已知场域边界面S上各点电位法向导数的值,即给定 3.1 边值问题的类型 边值问题的分类 已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合值, 即给定 如果场域伸展到无限远处,必须提出所谓无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的情况,则在无限远处电位为有限值,即 3.2 唯一性定理 唯一性定理 在静电场中,在每一类边界条件下,泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。这称为静电场的唯一性定理。 唯一性定理的意义 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据,为结果正确性提供了判据。 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理论依据。 唯一性定理的应用 镜像法和分离变量法 3.3 镜像法 实际问题的复杂性 当实际电荷(或电荷分布)靠近导体表面,由于导体表面出现感应电荷,必然对实际电荷的场产生影响。 要计算空间的场,就要考虑感应电荷的场效应,即必须知道导体表面的电荷分布。但直接分析这些问题往往是复杂而困难的。 镜像法基本思路: 在所研究的场域外的某些适当位置,用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。这个虚拟电荷被称为实际电荷的镜像。 只要镜像电荷与实际电荷共同作用产生的电位满足给定的边界条件,又在所求区域内满足拉普拉斯方程,这个结果就是正确的。 使用镜像法时要注意以下三点: 镜像电荷是虚拟电荷(假想电荷); 镜像电荷置于所求区域之外的附近区域(位于等势体中); 导电体是等位面。 点电荷与平面边界 问题:在接地的无限大导电平面上方d处有一点电荷,试求解空间中的电位和电场强度。 3.3 镜像法 点电荷与平面边界 所以点P(x,y,z)的电位和电场强度为 其中 3.3 镜像法 点电荷与平面边界 该假设的验证: 在导电平面上有 所以导电平面的电位为 导电平面的电场强度为 3.3 镜像法 点电荷与平面边界 讨论 导体表面的感应电荷密度可以用导体表面附近的电通密度的法向分量来计算,即 把无限大导电平面看作是半径无限大的圆,则导电平面总的感应电荷为 3.3 镜像法 例右图为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈,今有一电量为100 nC的点电荷置于(3, 4,0)点,求(3,5,0)点处的电位和电场强度,其中各坐标单位为m。 3.3 镜像法 电位和电场强度为 其中 3.3 镜像法 对于非垂直相交的两导体平面构成的边界,若夹角为 ,则所有镜像电荷数目为2n-1个。 3.3 镜像法 点电荷与球面边界 真空中有一半径为R0的接地导体球,在球外距球心a(aR0)处有一点电荷Q,求空间各点电势。 分析:镜像电荷应在球内。由对称性,镜像电荷应在Oq1连线上,即z轴上。假设q1=-mq,则球外点P(x,y,z)处的电位为 3.3 镜像法 点电荷与球面边界 电位在球表面处满足电位为零的边界条件,即在r=a处对任意角度θ,有 所以,镜像电荷的大小为 3.3 镜像法 点电荷与球面边界 该假设的验证: 在球面上有 所以,导电球面的电场强度为 3.3 镜像法 点电荷与球面边界 讨论 球体表面的感应电荷密度可以用球体表面附近的电通密度的法向分量来计算,即 球体表面总的感应电荷为 3.3 镜像法 点电荷与球面边界的扩展 一导体球半径为a,不接地,将一位于无穷远处的电量为q的点电荷移至距离导体球中心为d 处。求电位。 对于该情形,由于导体球不接地,所以球面电位不等于零,而球面上的净电荷等于零。 为了满足导体表面净电荷等于零的边界

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