电磁场及电磁波02.pptVIP

第一章 矢量分析(3) 第一章 矢量分析(5) 圆柱坐标系下的旋度计算： 球坐标系下的旋度计算： 例：如果标量函数f(x,y,z)为连续可微函数，证明： 证明： 结论非常 有用 注：另外重要恒等式 * 场：描述空间物理量的函数。 标量场:地形的高度，电容器内部的点位，一杯热水周围的问题等 矢量场:地球的重力场，黑洞的引力场，静电场，静磁场，台风速度场 稳态场:场值不随时间变化。高度场，地球重力场，静电场等等 时变场:场值随时间变化。温度场，电磁波，电离层电子浓度等 标量场的梯度 以下通过等高线来说明梯度的概念： (1)等高线的概念 地图上所有相同高度的点连成的曲线为等高线，任意两条等高线不可能相交。 电视剧亮剑中李云龙对楚云飞吹嘘：天生就看得懂的地图就是等高线地图 (2)方向导数 从一条等高线(红线)到另外一条等高线(蓝线)的坡度 由于两条等高线分别为： 则坡度可以近似表示为 对于固定的P点，向不同方向行进，坡度显然不一样。即坡度(方向系数)与方向有关 根据微分概念，显然当△l尽可能小。 不要和我说速度的定义没有学过 不同的方向坡度仍然不同 设点P的坐标为(x,y,z)，Q点坐标为(x+dx,y+dy,z+dz) (3)计算方向导数 技巧 常矢量 与方位有关的矢量 (4)梯度的导出 根据上式可以看到坡度(方向导数)是能够取最大值的，即最陡方向。何时取最大值？ 标量场f的梯度定义 矢量微分算子，Del算子，梯度算子， nabla算子 (5)梯度的物理意义 一个标量场在某一点的梯度表明了该点的最陡方向(单位矢量)及其陡峭程度(数值) (6)梯度的性质 一个标量场的梯度是矢量 一个标量场某点的方向导数为梯度在该方向上的投影 某点的梯度垂直于过该点的等值面，其指向场值增加的方向 (7)圆柱坐标系下梯度的计算式 (8)球坐标系下梯度的计算式 (9)广义坐标下梯度的计算式 一个标量场某点的方向导数为梯度在该方向上的投影 某点的梯度垂直于过该点的等值面，其指向场值增加的方向 证明(1)： 其中a为梯度的方向，b为“该方向”单位矢量，故可得结论 证明： (1)如果等高线的变化非常小，那么在非常小的局部区域，等高线是什么关系？ (2)梯度的数值即为方向导数的最大值。 要使方向导数最大，也就意味着所取方向为连接P与另一条等位线上最近点的方向，什么方向最小？ P 证明(2)： 如图所示： 其他方向的方向导数： ，证明： 例题1:已知 证明： (1) … (2) … (3) … … … Remember it forever! 例题2: 求标量场 在点P(2,1,0)处的梯度。 解：由于标量场给出的是直角坐标系下的表达式，因此它的梯度能够直接使用直角坐标系下的结果，即 例题3: 给出圆柱坐标系下矢径 的幅度梯度。 解：矢径r的幅度为 第一章 矢量分析(4) 矢量场的通量与散度 矢量场性质：各点的场量是岁空间位置变化的矢量。如漩涡的力场是直观的例子。 表达形式： O 矢量线的性质： 方向的定义： 矢量线上任何一点的切线方向 数值的定义： 矢量线间的疏密程度定性表示 矢量线的交汇问题 第一章 矢量分析(4) O 矢量线方程： 矢量线上任何一点的切线方向即为矢量场方向 如图若已知矢量场F的矢量线呈对应关系 曲线的切线方向为 矢量场的方向为 两者方向一致，故可建立矢量线方程 第一章 矢量分析(4) 通量的定义:简单地说，就是通过一个曲(平)面的矢量线数目。 通过每个小面元的数目发现: 方向有关 面元大小有关， 如将线画密一些，线密度也会增加。即与场强的大小数值有关， 第一章 矢量分析(4) 通量的计算式: 面元方向的定义：比较随意，但是对于封闭面，通常取外法向 面元通量，可以定义通量的表达形式 非面元通量，则： 将宏观面元分解成非常多的小面元，假设每个面元上的矢量为恒量，这是数学中的微分思想，当面元足够小时，这时求和可以用积分来表示。 如果是闭合曲面， 注意 1、各种情况下表达式的不同，并关注闭合曲面的通量 2、如果一个封闭面的通量不为0，表明该封闭面内有通量源 第一章 矢量分析(4) 正电荷通量： 封闭面通量大于0 负电荷通量： 封闭面通量小于0 思考：如果一个封闭面内如果既有正电荷，又有负电荷，则通量将会怎样？ 第一章 矢量分析(4) 散度概念的意义： 通量：积分量，范围比较大（宏观），无法反映每一点的性质。 梯度：微分值，范围比较小（微观），能够反映每一点的性质。 散度：微分值，范围比较小（微观），能够反映每一点的性质。 散度定义： 封闭面通量 为表示微观特性，所取面积显然不能很大 显然该式的值为0，why？ 因此需要对该式除以一个无穷小量，曲面的面积和体积是个