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电动力学--2013 邹正峰 求是楼 233#9-16周 16次课 期末考试80% 平时成绩20% 每周交一次作业 电动力学 矢量分析与场论 电动力学 参考书： 《矢量分析与场论》 谢树艺，高教出版社 《电动力学》 郭硕鸿，高教出版社 《电动力学简明教程》 俞允强，北大出版社 矢量分析与场论—数学预备 矢量及基本运算 矢性函数的运算规则 哈密顿算子及其简易计算方法 积分变换式：高斯公式、斯托克斯公式 场 梯度、散度、旋度 有势场 管形场 矢量 矢量：既有大小（模），又有方向 矢量 矢量的模 矢量的加、减 标积 矢积 并矢 并矢与张量 矢量的运算符 三矢量的混合积 三矢量的矢积 例：证明 证明： 是一个矢量，令 ，有： 利用三矢量的矢积公式可以得到， 于是可得， 矢性函数的定义 矢性函数 矢端曲线，矢径，距离矢量 矢性函数的极限 矢性函数的极限 矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分 矢性函数的极限、连续、导数、微分，积分 矢量运算的基本方法 当两个矢量运算时，先进行基矢间的运算，然后再进行函数间的运算。基矢之间的运算规则是与运算符相邻的两个基矢之间发生运算关系。基矢运算只有点、叉、并运算。而函数间运算包含了乘、微分、积分等关系。 矢量的基矢运算规则 哈密顿算符 算符 在下面的公式中 为矢径 证明算子 ▽ 的公式 例 ：证明 哈密顿算符的运算方法 哈密顿算符的运算方法 例：证明 先微分 再矢量 去掉下标 证毕 例 ：证明 先微分 再矢量 去掉下标 证毕 例 ：证明 先微分 再矢量 去掉下标 证毕 强调： 积分变换式--1 积分变换式--2 场 方向导数 梯度 通量 散度 散度的计算公式 环量 环量面密度 环量面密度的计算公式 旋度 梯度、散度、旋度 积分变换式 思考题 梯度、散度、旋度 有势场 设矢量场 ，若存在单值函数 满足 ；则称此矢量场是有势的。令 ，并称 为这个场的势函数 。 定理 管形场 设矢量场 ，若其散度 ，则称此矢量场是管形场。管形场就是无源场 。 柱坐标系中用哈密顿算符表示梯度、散度、旋度 在球坐标系中哈密顿算符表示梯度、散度、旋度 拉普拉斯算子与调和量 第二步：将算符看成一个矢量，利用矢量的性质重新排列，使得算符紧邻着排在它所作用的函数前面，而把不被作用的函数移到算符作用范围外面 或 第三步，抹去下标，得到结果 1： ▽ 是一个算符，不能看成一个矢量 2： 哈密顿算法的简易运算方法，三个步骤是一个整体，缺一不可，不能单独使用。 没有对 做微分运算 对 做了微分运算 高斯公式（奥式公式） 上式能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。 采用▽符号来表示，可将上式写成： 斯托克斯公式 上式能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。 采用▽符号来表示，可将上式写成： 如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场 数量场：温度，密度，电位 矢量场：电场强度，力，速度 稳定场： 不稳定场： 数量场的等值面和等值线： 矢量场的矢量线：曲线的每一点均与对应该点的矢量相切 设M0为数量场 u = u(M) 中的一点，从点出发引一条射线l,在l上的点M0的临近取一动点M，记 ，如右图。若当M→M0时比式 的极限存在，则称它为函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数。 方向导数描述了在特定点处，数量场沿指定方向的变化率 M0 M l ρ 定义 计算公式 其中 方向导数最大值与方向 l方向上的单位矢量 取矢量 有 若在数量场u(M) 中的一点M处，存在这样