常微分方程答案一二章.docVIP

习题.2 4. 给定一阶微分方程， (1). 求出它的通解；(2). 求通过点的特解；(3). 求出与直线相切的解；(4). 求出满足条件的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。 解：(). 通解显然为； (2). 把代入得，故通过点的特解为； (3). 因为所求直线与直线相切，所以只有唯一解，即只有唯一实根，从而，故与直线相切的解是； (4). 把代入即得，故满足条件的解是； (5). 图形如下： 5. 求下列两个微分方程的公共解： 解：可得 所以或，代入原微分方程满足，而代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。 6. 求微分方程的直线积分曲线。 解：，则将其代入原微分方程可得 所以所求直线积分曲线是或。 8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： (2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长；(5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。 解：的切线的横截距和纵截距分别为和，故 (2). ； (5). 。 习题2.1 1. 求下列方程的解： (2). ，并求满足初值条件的特解； 解：当，分离变量，得 两边同时积分，得 又也是原方程的解，故的通解是 由初值条件可得，故所求特解是。(4). 解：当，分离变量，得 两边同时积分，得 又也是原方程的解，故所求通解是 和 (5). 解： 令，则 两边同时积分，得 代入，得所求通解是 (6). 解： 令，则 当，分离变量，得 两边同时积分，得 ，即也是的解，故的通解是和。 将代入，得原方程的通解是 和 (7). 解：当，分离变量，得 两边同时积分，得 又也是原方程的解，中令得到，故所求通解是 (8). 解：分离变量，得 两边同时积分，得所求通解是 (9). 解： 令，则 当，分离变量，得 两边同时积分，得 由原方程可得，从而。又，即也是的解，而该解可在中令得到，故的通解是。将代入，得原方程的通解是 (10). 解：分离变量，得 两边同时积分，得所求通解是 (1). 解：，则原方程化为 两边同时积分，得 代入，得原方程的通解是 即 (3). 解： 令，则原方程化为 再令，得 两边同时积分，得 代入，得原方程的通解是 (7). 解： 令，则原方程化为 再令，得 用分离变量法求解，得 代入，得原方程的通解是 习题2.1. 求下列方程的解： (). ； 解：原方程可化为： 对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令的解为，则将其代入可得 所以原方程的通解为 (8). ； 解：时，原方程可化为： 这是未知函数为的非齐次线性方程，对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令的解为，则将其代入可得 所以的通解为 又也是原方程的解，故原方程的通解为 和 (12). ； 解：原方程可化为： 这是的Bernoulli方程。当时，两边同时除以，得 令，则 其对应的齐次方程的解为，令的解为，则将其代入可得 所以的通解为 将代入，得。又也是原方程的解，故原方程的通解为 和 (13). ； 解：原方程可化为： 这是的Bernoulli方程，两边同时乘以，得 令，则 其对应的齐次方程的解为，令的解为，则将其代入可得 所以的通解为 将代入，得原方程的通解为 (16). ；解：原方程求导可得 在原方程中，当时，。故原方程等价于Cauchy问题 由常数变易法易得的通解为，再由可得，故Cauchy问题的解为，这也是原方程的解。 习题2.1. 验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解(2). ； 解：，所以 故原方程恰当方程。满足，则由可得 再由可得 所以，故原方程的通解是 (2). ； 解：，所以 故原方程恰当方程。满足，则由可得 再由可得 所以，故原方程的通解是 2. 求下列方程的解： (). ； 解：，得 所以原方程的通解是 (6). ； 解：，所以原方程恰当。 可得积分因子，原方程两边同时乘以，得 即 所以 故原方程的通解是 (8). ； 解：，所以原方程恰当。 可得积分因子，原方程两边同时乘以，得 即 所以 此即为原方程的通解。 5. 试证齐次微分方程当时有积分因子证明：两边同时乘以得 所以 原方程可化为。因为原方程是齐次方程，故可设 令，则 又因为 所以 从而 故是齐次微分方程当时的积分因子习题2.1. 求解下列方程： (1). ； 解：