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6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 6.5 光谱线的精细结构 * * 作为角动量耦合计算的一个例子，本节讨论在无外场情况下，电子自旋对类氢原子的能级和谱线结构的影响。 电子自旋与轨道角动量之间存在相互作用，但这种相互作用的能量和电子的动能，以及电子在核的力场中的势能相比是很小的。如果不考虑电子自旋与轨道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿量可写为： （6.5.1） 对于类氢原子，如果不考虑核外电子对核的屏蔽，则 （6.5.2） 都相互对易，它们有共同本征函数（无耦合表象） （6.5.3） 其中， ， 是自旋 的本征值， 是磁量子数。 描写电子态的四个量子数由 来确定。电子的能级 有 度简并。考虑电子自旋， 可取两个值，因而能级的简并度为 。 以 表示电子的总角动量算符。因为 两两相互对易，所以，体系的定态也可用 的共同本征函数来描写： （6.5.4） （6.5.4）所表示的波函数是耦合表象的基矢。 现在我们把自旋和轨道运动之间的相互作用能考虑进 去，这个能量为： （6.5.5） 于是体系的哈密顿量写为： （6.5.6） （6.5.7） 由于 （6.5.8） 因此， 都与 不对易，这时电子的态不能用量子数 和 来描述，或者说 和 不是好量子数。 所以 都和 对易， 都是好量子数。 另一方面，由于 则 （6.5.9） 的本征函数就是耦合表象的基矢。而 的本征函数和本征值可由 的本征方程 求出。 （6.5.10） 由与在一般情况下， ，我们可以用微扰论的方法进行求解。又由于 的本征值简并，须采用简并微扰论来讨论。将 按 的本征函数展开。考虑到 与 对易， 与 不对易，显然用 在耦合表象中的本征函数（6.5.4）展开计算时要方便得多。 （6.5.11） 令 简并微扰的久期方程为 （6.5.12） 其中 （6.5.13） （6.5.14） 而 （6.5.15） 则 所以（6.5.12）可化为 （6.5.16） （6.5.17） 于是有： 表示微扰对能量的一级修正值。注意到 只与 有关，而与 无关，因此简并只是部分解除，仍存在对量子数 的 度简并。当 给定后， 的取值为 （除 外），因此，自旋轨道耦合也消除了部分简并，使原来对应于 量子数的能级 分裂为两个能级。由于两个能记得差别很小，从而导致了光谱线精细结构的出现。 下面我们来计算类氢原子 项（ ）的精细结构。 （6.5.18） 其中 则 （6.5.19） （6.5.20） 其中 称为精细结构常数。 由于 是对角矩阵，因此 在耦合表象中的基矢就是零级波函数 ，用无耦合表象的波函数表示为 （6.5.21） （6.5.22） 从无耦合表象到耦合表象波函数的变换，也可以认为是简并微扰中零级波函数的重新组合，以使得 在简并子空间中对应的矩阵对角化。 *