定积分及换元积分法与分部积分法.docVIP

定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难　　点：定积分换元条件的掌握 重　　点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的． 1．定积分换元法 定理 假设 (1) 函数在区间上连续； (2) 函数在区间上有连续且不变号的导数； (3) 当在变化时，的值在上变化，且， 则有 　．　　　　　　　　　　　(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分． 例1 计算． 解 令，则．当时，；当时，．于是 ． 例2 计算． 解 令，则．当时，；当时，．故 ． 显然，这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积(图5－8)． 例3 计算． 解法一 令，则． 当时，；当时，，于是 ． 解法二 也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 ． 此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限． 例4 计算． 解 注去绝对值时注意符号． = = =． 例5 计算． 解 设，则当时，；当时，． = ． 例6 设在上连续，证明： (1) 若为奇函数，则； (2) 若为偶函数，则． 证 由于 , 对上式右端第一个积分作变换，有 ． 故 ． (1) 当为奇函数时，，故 ． (2) 当为偶函数时，，故 ． 利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值． 例如 ． ． 2．定积分的分部积分法 设函数与均在区间上有连续的导数，由微分法则，可得 ． 等式两边同时在区间上积分，有 ． (2) 公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中与是自变量的下限与上限． 例7 计算． 解 令，则．故 ． 例8 计算． 解 ． 例9 计算． 解 = == =． 例10 计算． 解 ． 即 注移项得． 故 ． 例11 计算． 解 先用换元法，令，则． 当时，；当时，． 于是 ． 再用分部积分法，得 ． 小结： 1．定积分换元积分定理：假设 (1) 函数在区间上连续； (2) 函数在区间上有连续且不变号的导数； (3) 当在变化时，的值在上变化，且． 则有 ． 2．定积分分部积分法：设函数与均在区间上有连续的导数，则有 ． a a O x y 图5－8