现代控制原理第5章 系统运动及稳定性分析.ppt

第5章 控制系统的稳定性分析 5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.1.1 平衡状态 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.2.3 李雅普诺夫第二法及其主要定理 5.3 线性系统中的李亚普诺夫稳定性分析 是负定的。说明V(x)沿任意轨迹是连续减小的，因此V(x)是一个李雅普诺夫函数。 [例5.2.3]已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 解：坐标原点xe=0（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。选取正定标量函数为： 则沿任意轨迹，V(x)对时间的导数为： 则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。 又当 有 ② 系统渐进稳定的判别定理二 [定理5.5] 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件： 1.V(x,t) 是正定的； 2. 是负半定的； 则：系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。 若还有 有 3. 当x≠0, 不恒等于0， 则：系统在平衡点xe=0处是渐进稳定的。 定理的运动分析：以二维空间为例 [例5.2.4]已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 解：坐标原点xe=0（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。 ①选取正定标量函数为： ②当 ③ 进一步分析 的定号性： 如果假设 ，必然要求 ，进一步要求 。但从状态方程 可知，必满足 ， 表明 只可能在原点（x1=0，x2=0）处恒等于零。 为半负定！ 所以，系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。 当 有 若在该例中: ①选取正定标量函数为： 为负定！ ②则： 由以上分析看出，选取不同的V(x)，可能使问题分析采用不同的判别定理。 所以，系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。 且当 有 ③系统李氏稳定的判别定理 则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。这时系统可保持在一个稳定的等幅振荡状态上。 [定理5.6] 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件： 1.V(x,t)是正定的； 2. 是负半定的； 3. 当x≠0时，存在某一x 使 因为 ≤0 则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 ，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 是一致稳定的。 [例5.2.5]已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 解：坐标原点xe=0（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。 ①选取正定标量函数为： ②则： 由上式可见， ，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐进稳定的。 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 ④系统不稳定的判别定理一 1.V(x,t)是正定的； 2. 是正定的； [定理5.7] 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件： 显然， ，表示系统的能量在不断增大，故系统的运动状态必将发散至无穷大，系统是不稳定的。 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 ⑤系统不稳定的判别定理二 1.V(x,t)是正定的； 2. 是正半定的； [定理5.8] 设系统状态方程为: ,其状态平衡点xe=0，满足 。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，且满足以下条件： 3. 在x≠0时，不恒等于0 。 [例5.2.6]已知非线性系统的状态方程为: 试分析其平衡状态的稳定性。 解：坐标原点xe=0（即x1=0，x2=0)是系统惟一的平衡状态。 ①选取正定标量函数为： ②则： 所以，系统是不稳定的。 且当x1为任意值，x2 =0时， （为正