变动上限及积分表示及函数及其应用.docVIP

变动上限的积分表示的函数及其应用 设在连续，变动上限的积分，都是的原函数。其实是个常数。所以 应用复合函数微分法： (1)若，则 (2) 若，则 (3) 若，则 1.直接用公式求变动上限的积分表示的函数的导数 例1：求导数 （1） （2） （3） （4） （5） 所以， 2.变动上限的积分表示的函数在求极限中的应用 有些极限问题中，包含着变动上限的积分表示的函数，常用罗比塔法则求极限。 例2：求极限 3.变动上限的积分表示的函数在求导数中的应用 变动上限的积分表示的函数常出现参数方程表示的函数、二元函数的复合函数的求导数题目中。这就要求学生具有一定的综合运用知识的能力。 例3：设函数y=y(x)由参数方程所确定，求 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t的取值. 解: 由，， 得 所以 == 当x=9时，由及t1得t=2, 故 例4：设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，证明:. 解 因为， ， 于是 ， ， 可见 . 4.变动上限的积分表示的函数在微分方程中的应用 例5：设是连续函数且满足，求． 解: 两边求导 在求导 注意到 (这一问题的初始条件经常是隐含的) 这就完全转化成了二阶线性常系数微分方程的问题了. 答案为: 例6：设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点. 若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式. 分析:梯形OCMA的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可. 解: 根据题意，有 . 两边关于x求导，得 当时，得 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y A = M = O C B x = 当x=0时，f(0)=1. 由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以