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实验十八 迭代与分叉、混沌 【实验目的】 1.了解逻辑斯谛迭代的基本概念。 2.了解逻辑斯谛迭代中的分叉和混沌现象。 3.学习、掌握MATLAB软件有关命令。 【实验内容】 在受环境制约的情况下，生物种群的增长变化为变得复杂。例如在一个池塘中，环境可供1500条鱼生存。在鱼的数量远远低于此数时，鱼群的增长接近与指数增长。但是当鱼群数量接近于生存限1500时，由于生态环境逐渐恶化，鱼群增长逐渐变慢，几乎停止增长。如果鱼群数量超过了生存限，由于环境不堪重负，鱼群会出现负增长。试建立鱼群增长的数学模型。 【实验准备】 1.逻辑斯谛模型 2.一些基本概念 3.迭代的MATLAB命令 【实验重点】 1.逻辑斯谛迭代的算法实现 2.逻辑斯谛迭代的应用 【实验难点】 1.逻辑斯谛迭代的应用 【实验方法与步骤】 练习1 考察实验引例中的问题，记为第n代鱼的数量，设鱼的增长量为原来数目的正比函数，而增长率为鱼数量的线性减函数，则可得如下的模型 上式称为逻辑斯谛方程，式中N为环境所容许的最大容量，本例中N=1500，r为自然增长率，不妨设r=0.001,则可得如下的迭代格式 下面选取不同的初值，观察鱼群数量的变化趋势。 （1）初值，相应的MATLAB代码为 clear; x=0; for i=1:30 x=x+0.001*x*(1500-x);x1(i)=i;y(i)=x; end plot(x1,y,o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代恒等于0，0迭代式的不动点。 （2）初值，例如，相应的MATLAB代码为 x=50; for i=1:30 x=x+0.001*x*(1500-x);x1(i)=i;y(i)=x; end plot(x1,y,o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代收敛于1500，1500迭代式的不动点。 （3）初值，相应的MATLAB代码为 x=1500; for i=1:30 x=x+0.001*x*(1500-x);x1(i)=i;y(i)=x; end plot(x1,y,o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代恒等于1500，1500迭代式的不动点。 （4）初值，例如，相应的MATLAB代码为 x=1800; for i=1:30 x=x+0.001*x*(1500-x);x1(i)=i;y(i)=x; end plot(x1,y,o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代仍收敛于1500，1500迭代式的不动点。 练习2 逻辑斯谛方程可写为标准形式 对于不同的r,观察数列的收敛情况。 （1），相应的MATLAB代码为 clear; x=0.3;r=0.6; for i=1:30 x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x; end plot(x1,y,k-o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代收敛于0，0迭代式的不动点。 为了画出迭代的蛛网图，相应的MATLAB代码为 clear; x=0.3;r=0.6; for i=1:30 x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x; end x1(1)=0.3;y1(12)=0; for i=1:29 x1(2*i+1)=y(i);x1(2*i)=x1(2*i-1); yi(2*i)=y(i);y1(2*i+1)=y1(2*i); end; x2=0:0.01:1;y3=r.*x2*(1-x2); plot(x1,y1,k-,x2,y2,k-,x2,y3,k-) （2），相应的MATLAB代码为 clear; x=0.3;r=2.8; for i=1:30 x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x; end plot(x1,y,k-o) 计算结果见下图，由图中可知，迭代数列上下震荡，收敛于不动点。 为了画出迭代的蛛网图，只需在第一种情况相应的MATLAB代码中将r=0.6给为r=2.8即可。 （3），相应的MATLAB代码为 clear; x=0.3;r=3.2; for i=1:40 x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x; end plot(x1,y,k-o) 计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在两个近似为0.51和0.80的值之间震荡。这类震荡称为2-循环。一旦进入这种模式，就容易预测解的未来值。 相应的蛛网图为（MATLAB代码略去）。 （4），相应的MATLAB代码为 clear; x=0.3;r=3.46; for i=1:40 x=r*x*(1-x);x1(i)=i;y(i)=x; end plot(x1,y,k-o) 计算结果见下图，由图中可知，经过一段时间调整，迭代数列开始在四个值之间震荡。这类震荡称为4-循环。 注意，