微观与巨观的战争.PDF

篇名： 微觀與巨觀的戰爭 作者： 童慧玲。國立玉里高級中學。普通科二年級忠班。 指導老師： 陳凱群老師 微觀與巨觀的戰爭 壹●前言 春天的氣息悄悄的探了出來，微風吹拂大地，經大海、經草原、經花花木木，經 窗兒吹進了那凌亂的書桌，輕柔的翻動著書……好奇的我因此發現這本書「難解 的簡單」。 恰巧看到了這段有趣的文章「筆、筆尖、墨水與筆蓋」他們互相訴說著自己的偉 大，在一張紙上寫下幾個字句，誰的功勞最大呢？吵的不可開交，誰也不讓誰， 頑皮的說話方式，栩栩如生的展現。 其實，彼此間是密不可分的，只是看的角度，思索的層面不同罷了，這些東西與 生活是息息相關的，許多事物也是用了相同的原理，如：建築、物理、藝術等， 讓這些東西更加鮮活動人，吸引著我想進一步的探討及思考，發現它與數學有著 相連性，因此做了此研究，讓生活與數學結合，生活中存在著許多數學原理，值 得我們去細細探討！ 貳●正文 一、原理簡介 01.微分： 微分學主要研究的是在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率(或微 分) 。換言之，計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法 ，該算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱 作「微分學的鼻祖」。 微分學通過導數和微分來研究曲線斜率 、加速度 、最大值和最小值的一門學科。 微分意味著取一個無窮小量，單從一個變數的角度，微分毫無意義，它的作用在 於描述兩個變數之間的變化關係，通常用兩個變數的微分商的函數來描述一個函 數的變化趨勢，也稱為「微商」或「求導」，通常記作dy/dx 。 02.積分： 積分學是微分學的逆運算，即從導數推算出原函數。又分為定積分與不定積分。 一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等於函數曲線下包 1 微觀與巨觀的戰爭 含的實際面積。 根據以上認識，我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓 錐體的表面積或體積等。 而不定積分，用途較少，主要用於微分方程的解。 積分的基本原理：微積分基本定理 ，由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨 在十七世紀分別獨自確立。微積分基本定理將微分和積分聯繫在一起，這樣，通 過找出一個函數的原函數，就可以方便地計算它在一個區間上的積分。積分和導 數已成為高等數學中最基本的工具，並在自然科學和工程學中得到廣泛運用。 積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出。黎曼的定義運用了極限的概 念，把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。從十九世紀起，更高級的積分定 義逐漸出現，有了對各種積分域上的各種類型的函數的積分。比如說，路徑積分 是多元函數的積分，積分的區間不再是一條線段（區間[a,b]），而是一條平面上 或空間中的曲線段 ；在面積積分中，曲線被三維空間中的一個曲面代替。對微分 形式的積分是微分幾何中的基本概念。 對積分概念的推廣來自於物理學的需要，並體現在許多重要的物理定律中，尤其 是電動力學 。現代的積分概念基於抽象代數學 ，主要是由昂利·勒貝格建立的 勒 貝格積分 。 03.引申概念： A.微分是從大的物體區分成各個微小的元素。 這樣由大到小的性質，可以利用球的性質來解釋：像是每顆球都可切出無限個 圓，球是立體的，但球慢慢切割後，可以分成一個個平面的圓，這就是微分的概 念。 對球心在座標原點任意半徑的球面可以用微分方程表示為：xdx+ydy+zdz=0，球 面的面積是包圍一定體積的表面中最小的，同樣的，以一定面積表面能包圍住的 體積以球面為最大。 B.積分是由小的物質累積成大的。 這樣由小到大的性質，可以舉數列的極限作為例子：一個無窮數列＜an ＞，當n 越來越大時，如果其值 an ，會趨進一個定值？，即稱這個值？為數列＜an ＞的極 限 ，以符號lim an=？來表示 。