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0 第五章 C 有限元 §5.1 一维弹性杆纵向振动基本方程 5.1.1 前言 随着计算机技术的飞跃发展,有限元法在结构分析中得到非常广泛的应用,已成为一种 普通的结构分析方法.有限元分析方法的基本思想,追朔其历史，始于桁架分析。桁架分析 采用的是力法，将桁架分解为二力杆，建立它的节点平衡条件来求其内力。其指导思想是 先拆后装，首先将结构分解为若干个元件（构件），对它们进行力学分析，然后应用平衡条 件和连续条件把它们组装起来，建立基本方程来求解。有限元法发展的重要标志则是与计 算机及计算技术的紧密结合和位移法的广泛使用，特别是在二维、三维结构分析中的应用。 现已大大超越结构分析的范畴而成为一种普遍的数理方程近似解法。下面从最简单的弹性 杆纵向振动开始介绍结构系统动力学有限元法。 5.1.2 弹性杆的力学分析 一维弹性杆是平直的细长体，它的横截面的尺寸比长度小得多，因而它的构形用沿其 长度方向的纵轴(x 轴)坐标来描述，故是一种一维构件。弹性杆只产生沿长度方向的纵向位 移（拉伸或压缩），它产生的是纵向振动。关于弹性杆纵向振动在第三章§3.1 节里已作了 分析，下面再作一下简单的回顾。弹性杆所产生的纵向位移设为 u u x ( ) (5.1) 它是弹性杆振动分析的基本函数。弹性杆不产生其他位移分量。弹性杆的轴向应变是 ∂u ε (5.2) xx ∂x 无其他应变分量。根据虎克定律，弹怀杆的轴向应力是 σ Eε (5.3) xx xx 无其他应力分量。由于横截面上应力是均匀分布的，弹性杆的轴向拉力为 ∂u N A EA σ (5.4) xx ∂x 其中 A 是弹性杆的横截面面积。 根据达伦培尔原理，弹性杆的平衡条件为 2 ∂N ∂ u =+f Ax ρ 2 (5.5) ∂x ∂t 其中 ρ 是弹性杆的质量密度，f x 是作用在弹性杆单位长度上的轴向外力。 弹性杆纵向振动的控制方程是 2 ∂ ∂ u ∂ u ( )EA f A ρ =+ (5.6) x 2 ∂ ∂x x ∂t 定义微分算子 ∂ ∂ u ∂2 ( ), ρ Lk EAL Am − 2 (5.7) ∂ ∂x