两个基本模型在立体几何解题中应用.docVIP

两个基本模型在立体几何解题中应用在高三的立体几何复习课教学中，对比总结了近两年的高考立体几何解答题的基础上，认为大多数的立体几何问题（主要针对解答题）在解决上都将问题放在了两个基本模型中解决，或是放在两个基本模型的变化图形中解决。这就是三棱锥和正方体。 一、三棱锥 立体几何中的大量问题均以棱锥为背景提出，而其中出现最频繁的莫过于三棱锥。说它出现的频繁主要体现在两点：（1）有很多问题的背景就是三棱锥；（2）以其它棱锥为背景的问题其实都可以化到三棱锥中解决，如：四棱锥，可看成是两个三棱锥拼成的；五棱锥，可分割为三个三棱锥。所以，立体几何中的大量问题最终都是在三棱锥中解决，这样的话有必要让学生对有关三棱锥的常见问题背景有一个了解。而与三棱锥有关的问题大多数又都常由以下几个结论变化而来，下面将一一讨论这几个结论的常见用法。 结论1：若三棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心（或若三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心）。 上述结论主要针对线面角的问题，如右图所示。此图之中最值得注意之处在于它蕴涵了线面角的基本图形。而线面角的考查作为高考基本考点，在最近几年的高考试题中屡有出现，例如，今年南京市高考二模调研卷中的立体几何解答题，就有关于线面角的证明，使得不少学生栽了跟头。学生在解答过程中丢分很严重。故告知此结论时，可再次强化线面角的规范书写问题。 结论2：若三棱锥的侧面与底面所成的二面角相等，且顶点在底面上的射影在底面三角形的内部，则顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。 上述结论主要体现利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角的基本方法，如右图所示。此图之中值得注意之处在于它蕴涵了利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角的基本作图，即分解其中一个侧面与底面所成的二面角的图形（右图）。实际求解二面角问题时虽然作二面角的平面角有多种方法，但利用三垂线定理及其逆定理作出二面角的平面角却是主流方法，故告知此结论时，可再次熟练三垂线定理及其逆定理在求二面角时的应用。 如：例1（99年高考题）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC//D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a。（问题略） 分析：不论什么问题，我们必须找到面EAC与底面ABCD所成二面角的平面角，即面EAC与面ACD所成二面角的大小，因为ED⊥平面DAC，作DO⊥AC连EO，则∠EOD=45°。 例2： 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面，ABC∠ABC=90°且PA=AB=BC=a。 （1）求AB与平面PBC所成的角；（2）求点A到平面PBC的距离；（3）求二面角A-PC-B的大小。 二、正方体 正方体由于本身就是一个完美的对称体，人们比较容易的就能观察和了解到它的基本图形性质，棱柱、平行六面体等图形一般都可看作是正方体演化而来的。我常常和学生说：“立体几何中的所有点、线、面之间的相互位置关系都可以在正方体中找到，所以当找不到模型时不妨回到正方体中找找看。”且它在高考立体几何题中也是大量问题的背景。综合来说，我觉得从图形上可按下列顺序帮助学生理出，对正方体和正方体演化图形的知识脉络。 1.除十二条棱外不再加任何线条的正方体（如图） 在这张图中可非常清晰地看到立体几何中涉及的所有点、线、面之间的相互位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等。学生可变换不同的视觉角度（从上至下、从下至上、从左至右、从右至左等）来熟练这些位置关系。在具体的问题中这些基本位置关系常常以比较别扭的视觉角度展示，或者将正方体演化成其他图形，学生适应的不是太好。 2.在上图的基础上添上十二条面对角线（如图） 此时图形较第一种情形立刻复杂了不少，出现了截面，继而也增添了新的视角：左下、右上等。这些图形已经开始接近或就是我们平时碰到的有关正方体的问题了。如 例3：正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面A1BD∥平面B1D1C 面对角线的常见变式是对角线的两个端点其中一个变为棱的中点、三分点。如上例可将问题变为：若E、F分别是AA1和CC1的中点，求证平面EB1D1∥平面FBD。 3.在上图的基础上添上四条体对角线（如图） 这时图形较第二种情形更加完善，因为三垂线定理及其逆定理的基本图形出现了！三垂线定理及其逆定理是立体几何中的核心定理，应用非常广泛、灵活。在此图中可让学生多角度地观察、寻找三垂线定理及其逆定理的基本构图，以加强对其基本构图的敏感度和自身在各个构图角度的使用意识。如： 例4：正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，试在AB上找一点N，使∠C1MN=90°，并说明理由。 分析：如图所示，注