无限道幻方难题集.DOC

幻 集 侯小山 Hou_xiaoshan@ （河北经贸大学 050091） 摘 要 提出了幻集——幻多形集合，它包含幻多方、幻多星、幻多圆、幻多球等幻多形；而已有的幻方、幻星、幻圆等又都只是幻多形的特例——幻单形；用个整数构造的幻方，共有个阶方阵，方阵的行、列、对角线上的个整数之和都相等；定义并举例说明了整数的幻多方及其跨越构造法，以及幻多形——幻集；提出了一系列新问题，如不同阶幻集问题，素数幻集问题，等等；开创了幻方研究的新时代。 关键词 幻集；幻多形；幻多方；幻多圆；幻多球；跨越构造法：不同阶幻集问题；素数幻集问题 1 前言 数千年来，已有幻方，也称纵横图；例如早在中国南宋就已经出现的“九宫”，堪称幻方的鼻祖；“九宫者，即二、四为肩，六、八为足，戴九履一，五居其中”。 这种已有幻方，都是用个数，优美和均衡的分布成的单一平方形；不同的幻方之间，一般都不可以做跨越幻方的数据交换。 在自然界，多个平方形的集合是一个普遍现象：例如著名的勾股定理，涉及三个平方形的集合；例如国际象棋盘，涉及64个平方形；例如一个正方形可以分为多个不同的小正方形；……。因此，研究幻方，没必要总是局限于单一的正方形中，完全可以在多个正方形集合中探索。 在自然界，比多个平方形集合更普遍的现象，是多个几何形态的集合：例如多个六角形的集合，例如多个星形的集合，例如多个圆形的集合，例如多个球形的集合，尤其是这些不同形态的混合，等等。因此，研究幻方，也没必要总是局限于多个正方形集合中，也完全可以在更抽象更丰富的多个相同或不同的几何形态集合中探索。 在自然界和集合论的启发下，本文提出了幻集概念；幻集就是幻多形集合的简称；幻集包含了幻多方、幻多星、幻多圆、幻多球、以及不同几何形态的混合、等等；可以将已有的幻方、幻圆、幻星等全部概括的称为幻单形；而幻单形只是幻多形的特例。 幻多方就是用个数做出的幻方；幻多方含有多个方阵，且每一个方阵的行、列、对角线上的数字之和都相等。幻多方就已经包含了大量的内容：例如奇数幻多方、偶数幻多方、素数幻多方、幻多方的变形等等；幻多方也包含幻方；已有幻方也都是幻多方的特例，都是幻单方；而幻多方还有幻二方，幻三方，…，幻方，…。借此可以理解幻多星、幻多圆、幻多球、等等。 幻方，是个数优美和均衡的分布成的单一平方形；幻多方，是个数优美和均衡的分布成的多个平方形集合；而幻多形，则是任意有限个数优美和均衡的分布成的多个几何形态。幻方是幻多方集合的元素，幻多方又是幻多形集合的元素。 古今中外，有许多人都研究过幻方，例如中国南宋的杨辉，日本江户时期的关孝和与田中由真，世界著名数学家欧拉(Euler)，美国著名的政治家和科学家富兰克林，等等。他们既研究过幻方，又都创造了新幻方和新方法。也有人只是把幻方当作娱乐用品，甚至是迷信用品。 但是，本文提出的幻集，却可能是世界数学史上的第一次，幻方研究的重大进展。 因为到目前为止，本文搜集到的前人的全部幻方为：普通幻方、完美幻方、素数幻方、合数幻方、富兰克林幻方、乘幻方、反幻方、拉丁幻方、双幻方（既是加幻方，又是乘幻方）、神奇方阵、矩形幻方、幻立方、幻圆、幻星、幻环、等等；其中都没有幻多方，更没有幻集；而已有的全部幻方，都只是幻单方。 本文的目的就是提出幻集——幻多形集合。具体的做法是，先说明幻多方，并给出关于幻多方的跨越构造法；再说明幻集。 本文对于能给出的幻多形，如从幻一方到幻四方，则给出实例和做法，对于不能给出的，则一一说明问题，供别人去作出或研究。 幻方在人们的程序设计，组合分析，信息隐蔽，娱乐游戏等多个方面，都有广泛应用；１９７７年，美国宇航局先后发射了旅行者１号和旅行者２号宇宙飞船，其任务之一是寻找“外星人”； 飞船上就带有地球人的四阶幻方，准备给“外星人”观看。如果人类再发射寻找外星人的宇宙飞船，希望能够使用本文的幻集，去与“外星人”沟通，建议将其中不同的数，改为不同面积的几何形态。 本文开创了一个崭新而广阔的研究领域，幻集必将拥有更远大的使命。 幻多方与跨越构造法 2.1 幻多方 本节主要是说明整数幻多方的定义和实例。 温故而知新，已有幻方，如图1， 图 1 是用 个连续整数分布成的一个方阵，本文对这种幻方的定义如下： 定义 2.1.1 如果用个整数组成一个方阵，其每一行每一列每一条对角线上的个数字之和都相等，则这样的方阵叫做：幻方（纵横图）：或：幻一方，幻单方，单位幻方。 定义 2.1.2 如果用个整数组成的个阶方阵，其方阵的每一行、每一列、每一条对角线上的个整数之和都相等，也即有幻多方常数，则这个方阵叫做：幻方；或：幻多方；其中是方阵的个数，是方阵的阶数。 幻多方包含幻方，幻一方就是幻方，最小的幻多方就是幻方；任一幻方，无论其大小，无论是用整数还是素数构成，都是幻一方。 例