探究格子点与直线间的规律美.PDF

探究格子點與直線間的規律美 摘要 ： 這篇作品的想法源自於數學解題競賽的題目 ，讓我們對「幸運線」的問題 產生了興趣，在經過我們嘔心瀝血的研究後，不僅找出了競賽題目的答案與快速 解法 ，甚至推廣到更複雜的情形，求得符合各種情況的公式解。利用這些數學發 現，讓我們縮短了解題的時間 ，使解題更有效率，更因此活化了我們對數學的思 考方式 。 壹、 研究動機 ： 在國中唸書的姊姊，回家談到最近學校剛舉辦過的數學解題競賽 ，其中有 一個題目，是要找出圖形中所有幸運線的數目 ，題目如下： 遠古的傳說：若一條直線 至少通過三點，則此直線就被人們稱為幸運線， 因為若遇見她們，就會帶來幸福的時刻 。請問下列 4×7的格子點中， 共可找 到幾條幸運線呢 ? （提示：圖中相鄰的格子點水平與 鉛垂之距離都是一單位 長。） × 國中的題目 ，而且是解題競賽的試題，要找出答案一定不簡單，因此我們 把題目拿到學校問老師，怎麼找到答案呢？ 『大哉此問！』老師很高興的說道，臉上並露出欣慰的表情，表示這是一 個很有趣的數學問題，而且不會很難，小學生應該就會做得出來，要我們回家先 各自想想，明天課堂再來做分享與討論 。 在老師的指導下，透過 『有序』與 『簡化』的兩個數學思考原則，終於輕 鬆找到答案，並對發現到的結論，再進行數學驗證，以下是我們幸福求解的過程， 以及我們一連串的數學發現。 遇見幸運線 1 貳、 研究目的 ： 一、4×7 的格子點中，共可找到幾條幸運線呢？ 二、更複雜的情形，比方說9×13 的格子點之中 ，可找到幾條幸運線呢？可 不可以找到一般的解，比方說m×n 的格子點中，可以找到幾條幸運線呢？ 三、改變問題的條件：若一條直線至少要通過四點，才能稱為幸運線，那這 樣的幸運線共有幾條呢？更一般的狀況，若一條直線至少要通過y 個 點，才能稱為幸運線，那麼，這樣的幸運線又共有幾條呢？ 參、 研究設備及器材： 電腦文書軟體、筆、紙、嚴密的數學邏輯推理、數學思考及創意的小頭腦。 肆、 研究過程： 一、4×7 的格子點中，共可找到幾條幸運線呢？ 原始題目是由4×7 的格子點所組成的圖中，要找到至少經過三個格 子點的幸運線數目 ，且同一條線不得重複算 ，於是我們畫出許多直線 並開始計算，但數目不算少，為了清楚計算，我們加以分類： （一） 水平幸運線共有7 條。 （二） 鉛垂幸運線共有4 條。 （三） 歪斜幸運線共有6×2=12 條。 合計共有23 條 ，也就是說，4×7 的格子點中，共可找到23 條幸運線 。 × 二、更複雜的情形，比方說9×13 的格子點之中 ，可找到幾條幸運線呢？可 不可以找到一般的解，比方說m×n 的格子點中，可以找到幾條幸運線 呢？ 遇見幸運線 2 （一）利用『數學思考』方法，進行縱深思考 ： 接著老師又問我們，能否在更複雜的圖形結構中，推論得知幸運線 的數目呢？比方說9×13 的格子點之中 ，可找到幾條幸運線呢？甚至在 更大的 11×23 的格子點之中，又有幾條幸運線呢？ 4×7 的格子點圖中要畫出直線，精準算出直線的數目已經不容易， 若要在更多的格子點中，例如5×8 或是 11×23 ，算出所有的幸運線數目， 若沒有系統地亂畫亂數一通，是非常易混淆算錯。 因此老師指導我們，先將複雜的問題暫時擱置，不妨從格子點的圖 形進行 『簡化』分解思考 ，並進行『有序』的觀察，看看能否找到一 些線索或是規律性？最後再來解決複雜問題 ，也就是說，把問題單純 化 ，並循序漸進地觀察與思考。 以下是我們逐步探究3×n ，4×n ，5×n ，6×n ，7×n