常见曲面习题311证明如果那么由方程给出的曲面是一.DOC

第三章 常见曲面 习题3.1 1.证明：如果，那么由方程 给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。 证明：将方程配方得 ，由，得到方程表示球心是，半径为的球面。 2.求过三点的圆的方程。 解：空间中的圆可由过三点的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为，得到 球面方程为，其中任意。 过该三点的平面方程是，所以所求圆的方程可以为 其中任意。 3.证明曲线 在一球面上，并此球面方程。 证明：因为曲线满足 即，所以曲线在一个球面上。 4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程 （1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。 解（1）选直角坐标系使得定点坐标为。设定比常数为。所以动点满足，化简有 ， 当时，轨迹为平面。 当时，轨迹为球面。 （2）选直角坐标系使得定点坐标为。设常数为。所以动点满足，化简有 （3）选直角坐标系使得定点坐标为定平面为。所以动点满足，化简有 5.曲面在柱面坐标系下的方程为，求的直角坐标方程。 解：将柱面坐标与直角坐标的关系代入方程得到 6.曲面的直角坐标方程为，试求其球面坐标方程。 解：将球面坐标与直角坐标的关系代入方程得到即 习题3.2 1.求半径为1，对称轴为的圆柱面方程。 解：圆柱面上的点到对称轴的距离是常数1，所以 ，即有 2.已知与圆柱面的三条母线为求这个圆柱面的方程。 解：先求对称轴，对称轴上的点到三母线的距离相等，所以 ， 化简整理得对称轴的方程：。圆柱面上的点到对称轴的距离等于对称轴上的点到母线的距离，所以 ， 即展开得到圆柱面方程 3.求母线方向为，准线为的柱面方程。 解：柱面上的点一定在经过准线上一点的母线上，所以 消去得到柱面方程： 4.已知圆柱面的对称轴为，点在此圆柱面上，求此圆柱面的方程。 解：圆柱面上的点与点到对称轴的距离相等，所以 ， 展开整理得 5.求准线为的圆柱面方程。 解：因为准线是椭圆，所以圆柱面的对称轴一定过椭圆的中心，母线方向不可能平行于坐标面，可设为。在准线上取三点它们到对称轴的距离都等于圆柱面的半径，于是 ， 得化简有 显然所以。 因而圆柱面有两个，即 6.求以轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为的圆锥面方程。 解：因为圆锥面以轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为，所以圆锥面非常为 即 7.求顶点在原点，准线为的锥面方程。 解：锥面上的点一定在经过准线上某点的母线上，所以 因此得到锥面方程 8.求以原点为顶点，包含三条坐标轴的圆锥面方程。 解：设圆锥面的对称轴的方向向量为，依照题意对称轴的方向向量与三坐标轴的坐标向量的夹角的余弦的绝对值相等，所以有 即，对称轴的方向向量为。因此圆锥面上的点满足 ，化简得即有四个圆锥面。 9.求顶点为，准线为的锥面方程。 解：锥面上的点一定在经过准线上某点的母线上，所以 因此得到锥面方程 10.证明：母线方向为，与球面外切的柱面方程为 。 证明：依照题意知柱面是半径为1的圆柱面，对称轴为所以柱面上的点满足 ，由公式得到 ， 故柱面方程为。 11.过轴和轴分别作动平面，交角为常数，求交线的轨迹方程，并且证明它是一个锥面。 解：过轴和轴的动平面方程可设为它们的交线是 由于两平面的交角是常数，所以 ，交线方程中的系数按此关系消去得到轨迹方程： ， 该方程明显是4次齐次方程，所以是锥面。 12.证明：以为顶点的锥面方程是关于的齐次方程。 证明：我们知道顶点在原点的锥面方程是关于的齐次方程 ，所以将坐标系的原点平移到，新坐标系的坐标用，则 ， 故锥面方程是关于的齐次方程，即关于的齐次方程。 13.求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程，和在各坐标面上的投影曲线，并作出曲线的简图： （1）（2）（3） 解：（1）向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是 在方程组中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是 在方程组中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是 （2）在方程组中分别消去得到向面投影的投影柱面方程分别是 在面上的投影曲线方程分别是 （3）在方程组中分别消去得到向面投影的投影柱面方程分别是 。 在面上的投影曲线方程分别是 14.设柱面的准线的参数方程为，母线方向为，求柱面的参数方程。 解：柱面上的点在过准线上点的母线上，所以柱面的方程为 这就是柱面的参数方程。 习题3.3 1.求曲线绕轴旋转所得的曲面方程。 解：点在旋转面上当且仅当它是曲线上点旋转而来： 消去得到旋转面的方程：，由于曲线只是的一部分，所以旋转面也是一部分：，。 2.求直线绕直线旋转所得的曲面的方程。 解：设曲面上的点是直线上的点旋转来的，则 消去得到： 整理得旋转面的方程： 3.求曲线绕轴旋转所得的曲面的参数方程。 解：设曲面上的点是曲线上的点（对应的参