原子力显微镜微悬臂梁非线性振动分析.docVIP

原子力显微镜微悬臂梁非线性振动分析 胡庆泉1,2 陈立群2,3 （1 山东交通学院，250023， sdjtuh@126.com） （2 上海市应用数学与力学研究所， 200436） （3 上海大学力学系 ， 200444, lqchen@） 摘要 本文对在考虑激励和摩擦的情况下，对通过1阶Galerkin截断模型化为单自由度系统的原子力杆，利用多尺度方法，得到了稳态响应振幅与解谐参数的关系。用图形表示了激励振幅和阻尼对稳态振幅的影响。 关键词 原子力显微镜，非线性系统，数值分析 1 引言 自原子力显微镜发明以来[1], 它已成为纳米科技和工程中基础应用工具，它广泛应用于纳米级平板印刷、碳纳米管的操作、DNA、有机分子及在纳米电子设备、半导体设备和数据采集技术中的成像作用1999年，Aimé等基于单自由度非线性振子模型用摄动法计算了van der Waals力场中微悬臂梁的动态响应，结果表明线性分析不能说明频率漂移现象，进而不能解释当尖角与样品间的距离有微小的变化时有较大的频率漂移，而振子的非线性行为能够解释观察到的共振频率漂移与尖角和模型间距离的函数关系现象[]；Ashhab等在单自由度振子中考虑了van der Waals力场[]和Lennard-Jones力场[]，分析了系统在正弦激励下动力学行为，应用Melnikov方法预测中的混沌，表明当阻尼、激励及系统的平衡位置在一定范围内系统可能有混沌运动出现，并显示了当混沌运动发生时系统物理参数的变化范围；同时表示了系统状态的反馈控制可以消除混沌的可能性。Basso等用数值仿真研究Lennard-Jones力场中单自由度振子的混沌,理论上得到经过一系列的倍周期分叉而发生混沌运动，并求出分叉与系统参数间的函数关系[]。数值分析还得到一些当混沌发生时Melnikov理论没有涉及到的一些参数变化范围，这些结果可以被用于设计控制，得到原子力显微镜应用时系统的参数变化范围，以确保系统稳定无混沌运动。在非线性问题的研究中，Galerkin 截断法是一种比较常见的方法。2003年，Ruetzel等基于1阶Galerkin截断研究在Lennard-Jones力场中微悬臂梁的自由和参数 激振动 [9]。Lee等基于1阶Galerkin截断研究van der Waals力和Derjaguin-Muller-Toporov力作用下微悬臂梁的自由和受迫振动[0]并与实验结果进行了比较[]。本文用多尺度法对1阶Galerkin截断2 多尺度法分析 2.1系统模型及特征 (1) 其中 本章考虑软硅-硅及硬硅-聚苯乙烯系统，以上各项系数的取值及悬臂梁的特性及与个别样品间作用力特性参看文献[12,8]。 2.2多尺度法分析 对于所考虑的主共振情况，引进一个解谐参数(以代替原来的激励频率(，这里的(是(和(1接近程度的定量描述。 同时为得到问题的一致有效近似解，需要指定激励的阶数，使得阻尼和非线性出项时激励项也出现。 (2) 引入(n表示不同的尺度的时间变量, 并将激励设为O((2(，有 (n = 0, 1,2﹒﹒﹒) (3) (4) 方程的二次近似解可表达为 (5) 将不同尺度的时间变量视为独立变量，则成为不同独立时间变量的函数，对时间的微分可利用复合函数微分公式按ε的幂次展开表示偏微分算子符号，定义为 (6) 将(4)和(5)式代入方程(2)后展开，令ε的同次系数分别相等，得到下列方程组 (7) (8) (9) 这里，，方程(7)的解 (10) 将(10)代入(8)得到 (11) 式中 cc 表示其左边各项的共轭复数。为避免久期项出现，则函数 A须满足 或 (12) 并将从方程(9)中解出 (13) 将式(10)和(13)代入(9)得到 (14) NST代表不产生长期项的其余各项,为从u2中消去长期项, 得出 (15) 为确定复函数A，将A对t的导数写为 (16) 其中将复函数A写为指数形式 (17) 其中p(t)和q(t)皆为t的实函数。代入方程(15)，将实部和虚部分开，得到p和q的一阶