漫谈中考数学中的数学思想之五——中考数学中的转化思想史承灼.docVIP

漫谈中考数学中的数学思想之五 ——中考数学中的转化思想 史承灼 转化思想是一种重要的数学思想，是创造性思维的一个重要组成部分，在数学中的应用非常广泛，也是中考中要重点考查的一种数学思想。所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法。 1、复杂向简单的转化 例1（贵阳实验区）如图，菱形ABCD的对角线的长分别是2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 。 解析：阴影部分是一个不规则图形，直接求解显然比较复杂，考虑到四边形AEPF也是菱形，所以△FOP与△AOE的面积相等，因此阴影部分的面积等于△ABC的面积，等于菱形ABCD面积的一半为。 2、未知向已知的转化 例2(宁波市)已知a、b为实数，且a b＝1，设，则M、N的大小关系是（ ） A．M＞N B. M＝N C. M＜N D. 不确定 解析：可考虑将M或N向已知条件ab＝1进行转化，如，故应选B。 3、部分与整体的转化 例3（贵阳实验区）棱长为 1 cm的小长方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（ ） A．36 cm2 B. 33 cm2 C. 30 cm2 D. 27 cm2 解析：本题可以用化零为整的思想从整体上进行把握——从上、下、左、右、前、后六个方向去观察，发现每个面都是由六个边长为 1 cm的小正方形组成的图形，因此这个几何体的表面积为：6×6＝36（cm2）。故应选A。 4、数与形的转化 例4（无锡市实验区）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。 ⑴如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM＝3∶4∶5 。 ⑵如果M为CD边上任意一点，设AB＝2a ，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由。 解析：本题中的两个问题都是探索三角形的三边关系，需通过建立方程，将形的问题转化数的问题。 ⑴证明：设AB＝2a，DE＝x，则EM＝AE＝2a －x 。∵M是CD的中点，∴DM＝a 。在Rt△DEM中，DE 2＋DM 2＝EM 2，即：x2＋a2＝(2a－x)2x＝a2a－x＝＝aa∶a＝34∶5。 ⑵△CMG的周长与点M的位置无关。理由如下：设DM＝x，DE＝y，则CM＝2a－x，EM＝AE＝2a－y。在Rt△DEM中，由勾股定理得：，∴。易证：Rt△GCM∽Rt△MDE，∴，∴；。∴△CMG的周长为CM＋CG＋MG＝，与x 的值无关，所以△CMG的周长与点M的位置无关。 5、一般与特殊的转化 例5（安徽省）如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°。求AD、CD的长。 解析：由于∠A＝∠C＝30°这一条件，应考虑到将原图形转化为两个含30°角的直角三角形。故可以过B点分别作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F。易知四边形BEDF为矩形，则ED＝BF，FD＝BE。在Rt△AEB中，有BE＝AB＝5，AE＝BE＝。 在Rt△CFB中，BF＝BC＝10，CF＝BF＝。所以AD＝AE＋ED＝＋10， CD＝CF＋FD＝＋5。 6、动与静的转化 例6(青岛市实验区)把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合。现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）。 ⑴在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论； ⑵连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围； ⑶在⑵的前提之下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由。 解析：动与静反映了事物矛盾双方的辨证关系，它们既对立又统一，并在一定的条件下可以相互转化。利用动与静在一定条件下可以相互转化的这一辨证关系，我们就可以把运动中的图形在某种情况下的位置关系，看做静止状态进行研究。 ⑴在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变。 证明：∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边的中点，∴CG＝BG，CG⊥AB。∴∠ACG＝ ∠B＝45°。又 ∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH＝∠CGK。∴△BGH ≌ △CGK。∴