邓超及导群同构及群及某些性质.docVIP

与导群同构的群的某些性质 邓超 （闽江学院数学系 福建，福州 350108） 摘要：本文探讨了这样一类群：它同构与某一个群的导群。为了行文方便，文中将这类群称之为可积群，并称这类群具有可积性质，并应用初等群论的方法研究了有限群的这一性质，特别研究了有限循环群，交换群和幂零群的可积性，得到了一些初步的结果。 关键字：导群；幂零群；可积性； 1．引言及预备知识 设为一抽象群，令，称为的换位子。又令，称为的导出群，简称导群。对于任一群来说，若存在群使得和同构，则称群可积，称H为可积群，称为的原扩群，简称原群，并记。任意抽象群显然都有导群，但反过来，每个群是否都可积呢？这就是一个很自然的问题。如果不是，那么当它满足什么条件时，它可积？本文尝试对这一问题进行研究，获得了初步的结果。需要指出的是若一个群可积，那么它的原扩群并不唯一（例如对于单位元群来说，任何交换群都是其原扩群）。 注1：本文作者在考虑阶为的群G的同构分类时，发现已有的方法比较烦琐，故考虑新的思路：考虑G导群列，先考虑等情况，而后再用群的扩张理论得到，以此类推，得到G。采取这种方法面临两个困难，第一个困难是什么样的群能在该导群列中出现，即什么样的群能够作为p群的导群，将这一问题推广就得到了群的可积性问题。第二个困难是：由如何得到，即对于可积群G，如何得到其原扩群的问题。 如无特别的说明，本文中提到的群均为有限群，用记号表示为的子群，表示为的正规子群， char 表示为的特征子群，表示的中心， 表示的sylow-群。（其中p为素数）特别提请注意的是若群和群同构，文中将视之为同一个群，即。下面给出导群的若干性质: 性质1 若，则。 性质2 若，则。 性质3 设是群，则。 引理1 (见文[1，定理III 3.11])设为正整数，是阶循环群被阶循环群得扩张。则有如下定义关系： (1) 其中参数满足关系式 ，。 (2) 反之，对每组满足(2)式得参数，(1)式都确定一个阶循环群被阶阶循环群得扩张。 引理2 (见文[1，定理IV 5.12])设为有限p群，则若循环，亦循环。 引理3 可积群的直积是可积群。 证明：由性质3立得。 引理4 若群可积， char ，则可积。 证明：可积，群使得， char ，且 char ， char ，，则由性质2得，既可积。 2 主要结果 定理1任意阶循环群皆可积；特别的，循环p群可积。 证明：设为阶循环群，我们用霍尔德定理，即引理1构造出的原群。 由霍尔德定理的证明过程可知由(1)(2)所确定的群的任何元素都可以表示成。先证这样的群的导群可由生成。则，使得。则 ，的每个换位子由生成，。 下面令 (3) 则(3)的解必是(2)的解，则显然是(3)的一组解。所以，此时群的阶为（因为），即为阶循环群。所以此时群就是阶循环群的原群。 注2：上述定理说明任意阶循环群的原群都可以是一个亚循环群，同时也说明素数阶循环群这类单群是可积的；又由我们熟知的结果，知交错单群可积；这样我们就得到这两大类单群可积。事实上，对于p阶循环群来说，非交换阶群也可以作为其原群。略证如下：设，则,(否则若则循环，则交换与非交换矛盾)，故，所以是为阶为p的循环群。 推论1 有限交换群是可积群。 证明：因为有限交换群是循环p群的直积[见3，定理1.8.17]，由定理1和引理3立得。 定理2 群是幂零群，则可积的充要条件是其每个sylow子群可积。 证明：1）充分性。因为群是幂零群，故的每个sylow子群正规，且能表示成其sylow子群的直积（见[3，定理1.8.14]）又由条件及引理3得可积。 2）必要性。设，则又设（其中），则，且char。令，则 char ，由引理4得可积，又和同构，可积。 注3：从定理3可以看出研究p群可积性的重要性，类似于有限群的其它性质，我们再次看到了p群的重要性。引理1.2就是W.Burnside在研究什么群可以作为p群的导群时所得到的结论。我们将用它来证明一个结论。 定理3 若群是有限非循环p群，并且满足循环，则若可积，其原群必定不是p幂零群。 证明：用反证法。设是的原群，且为p幂零群。则。首先，循环，非循环，由引理2得不是p群，考虑的子群，显然 char 。则，是p群，使得。又是p幂零群， 。。也可以看成的原群，是p群[见2，命题VIII 1.2(1)]，这与的原群不是p群矛盾。由此得结论。 3 需进一步解决的问题 1)任意群，是否都可积？若不是，找到群可积的充要条件并给出反例；若是，给出证明。 2)对于任意群，怎样求出其原群？ 以下问题均在问题1)否定的情况