谈简易逻辑中命题及否定.docVIP

数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑的关系和推理论证。《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学》的新教材第一册（上）的第一章新增“简易逻辑”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断是非能力和推理能力，提高数学思维能力。 　　 由于新增内容，对于高一新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们在线教师不熟悉，知识上存在一定缺陷。至此本人根据自已参与新教材的教学实践，谈谈如何来构造比较合理的命题的否定，供师生们参考。 　　 首先我们要理解好命题否定“非”的认识。“非”命题是对原命题结论的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“P”）称为命题的否定。“非P”叫做命题P的非命题，也叫做命题P的否定。“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。 《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：单称命题的否定即简单命题的否定，存在性命题的否定，全称性命题的否定，复合命题“P且q”、“P或q”的否定。下面一一试述： ? ?1 简单命题的否定 在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一个特定对象。 　　 例1 写出下列命题的否定。 　　 （1） 是有理数。 　　 （2） 菱形的对角线互相垂直。 　　 （3） N {x R︱x＞–2}. 　　 （4） 方程 =1没有实数根。 　　 解:（1）的否定： 不是有理数。 或者是并非 是有理数。 　　 （2）的否定：菱形的对角线不互相垂直。 　　 （3）的否定：N {x R︱x＞–2}。 　　 （4）的否定：方程 =1有x≠3的实数根。 ??? 2 复合命题“P且q”；“P或q”形式的否定。 　　 给定命题P、q，用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题（也叫联言命题）。记作P q.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q” 叫做命题P、q的析取命题（也叫选言命题）。记作P q。它的否定可以通过真值表来：(“1”表示真，“0”表示假) 　　 P q P q P q (P q) ┓(P q) ┓P ┓q ┓P ┓q 　　 1 1 1 1 0 0 0 0 　　 1 0 0 1 1 0 0 1 　　 0 1 0 1 1 0 0 1 　　 0 0 0 0 1 1 1 1 　 ?从表可知：(P q)与 P ┓q的真值相同；(P q)与 P ┓q的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：“非P或非q”；“P或q”的否定为“非P且非q”。用符号语言表示： 　　 (P q)= ┓P ┓q ┓(P q)= ┓P ┓q 　　从而知命题“P q”和“P q”的否定：既否定命题P,q;又改变联结词。 　　 例2 写出下列命题的否定。 　　 (1) a=±5。 　　 (2) f(x)=0既是奇函数又是偶函数。 　　 (3) 5是10的约数且是15的约数。 　　 (4) 2+2=5或32。 　　 (5) ABCD 　　 (6) a,b都是0。 　　 解（1）的否定：a≠5且a≠–5。（原命题属于P或q型） 　　 （2）的否定：f(x)不是奇函数或不是偶函数。（原命题属于P且q型） 　　 （3）的否定：5不是10 的约数或5不是15的约数。 　　 （4）的否定：2+2≠5且3≥2。 　　 （5）的否定：ABCD或AB≠CD。 　　 （6）的否定：“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。 　　可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。 　　3 复合命题“若P则q”形式的否定。 　 “若P则q”（记作P q）型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。 　 ?当语句P和q能判断其真假时就成为命题，那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决。(用“1”表示真，“0”表示假) 　　 P q ┓q P q ┓P q ┓(P q) P (┓q) P (┓q) 　　 1 1 0 1 1 0 0 0 　　 1 0 1 0 0 1 1 1 　　 0 1 0 1 1 0 0 1 　　 0 0 1 1 1 0 0 1 　　从表可知，“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题。我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P且非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽