三阶和高阶导数.pptVIP

範例 6　求速度和加速度 P.3-55 圖3.32 第三章　微分 範例 6　求速度和加速度 （解） 對速度函數微分就可得加速度函數為 P.3-55 第三章　微分 範例 6　求速度和加速度 （解） P.3-55 第三章　微分 在上表中，注意當速度平穩時，加速度趨近於 0。這個觀察應該與我們的經驗吻合，亦即搭乘一部正在加速的汽車會感覺不到速度，但確實感覺到加速度，換句話說是感覺到速度的改變。 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 3.6 高階導數 3.6 高階導數 學習目標 求高階導數。 求移動物體的位置函數，並用它求速度和加速度。 P.3-51 第三章　微分 二階、三階和高階導數 f? 的導數就是 f 的二階導數 (second derivative) 並記為 f?。 f? 的導數就是 f 的三階導數 (third derivative) 並記為 f??。 P.3-51 第三章　微分 二階、三階和高階導數 以此類推，可得到 f 的高階導數 (higher-order derivative)，它的表示方法如下。 P.3-51 第三章　微分 學習提示 P.3-51 第三章　微分 在高階導數的前後文中，「標準」導數 f? 通常被稱為 f的一階導數 (first derivative)。 求以下函數指定的高階導數。 a. y = x2 y? b. y = x3 y?? c. y = x4 y(4) d. y = xn y(n) P.3-51 第三章　微分 探索 範例 1　求高階導數 求 f(x) ＝ 2x4 － 3x2 的前五階導數。 f (x) = 2x4 － 3x2 寫出原函數 f? (x) = 8x3 － 6x 一階導數 f? (x) = 24x2 － 6 二階導數 f?? (x) = 48x 三階導數 f (4)(x) = 48 四階導數 f (5)(x) = 0 五階導數 P.3-51~3-52 第三章　微分 檢查站 1 求 f(x) ＝ 6x3 － 2x2 ＋ 1 的前四階導數。 P.3-52 第三章　微分 範例 2　求高階導數 對方程式 g(t) ＝ －t4 ＋ 2t3 ＋ t ＋ 4 原函數 求 g??(2) 的值。 P.3-52 第三章　微分 範例 2　求高階導數 （解） 首先微分三次。 g? (t) = －4t3 + 6t2 + 1 一階導數 g? (t) = －12t2 + 12t 二階導數 g?? (t) = －24t + 12 三階導數 然後計算 g 的三階導數在 t ＝ 2 的值。 g?? (2) = －24(2) + 12 三階導數的值 = －36 P.3-52 第三章　微分 檢查站 2 對方程式 g(x) ＝ x4 － x3 ＋ 2x 求g?? (1) 的值。 P.3-52 第三章　微分 二階、三階和高階導數 範例 1 和 2 示範如何求多項式的高階導數，每微分一次，多項式的次方都會少一次。最後，多項式函數的高階導數會退化成常數函數。特別是 n 次多項式 f (x) = anxn + an－1xn－1 + . . . + a1x + a0 的 n 階導數是常數函數 f (n)(x) = n!an 其中 n! ＝ 1?2?3? n。高於 n 階的導數為零函數，而且多項式函數是唯一有此特性的函數。對其他函數，連續微分不會產生常數函數。 P.3-52 第三章　微分 範例 3　求高階導數 求 y ＝ x－1 的前四階導數。 P.3-52 第三章　微分 檢查站 3 求 的四階導數。 P.3-52 第三章　微分 加速度 在 3.3 節中，物體沿著直線路徑移動的速度 (不計空氣阻力) 為位置函數的導數，也就是說，位置對時間的變化率定義為速度。同理，速度對時間的變化率可定義為物體的加速度 (acceleration)。 P.3-53 第三章　微分 加速度 P.3-53 第三章　微分 欲求在特定時間 t 的位置、速度或加速度，只需將 t 值代入適當的函數就可以，參見範例 4。 學習提示 加速度以每單位時間之平方的長度為計量單位。例如，速度以呎/秒為計量單位，則加速度以「呎/平方秒」，或以「呎/秒/秒」為計量單位。 P.3-53 第三章　微分 範例 4　求加速度 一顆球從 160 呎高的懸崖頂端往上拋，如圖 3.31 所示。球的起始速度是 48 呎/秒，由此推得位置函數為 s ＝ －16t2