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第四章? 根轨迹法 §4.1 根轨迹的基本概念 一、根轨迹 §4.1 根轨迹的基本概念 一、根轨迹 §4.1 根轨迹的基本概念 二、根轨迹的基本条件 §4.1 根轨迹的基本概念 二、根轨迹的基本条件 §4.1 根轨迹的基本概念 二、根轨迹的基本条件 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 一、开环零极点与相角条件 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 一、开环零极点与相角条件 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 一、开环零极点与相角条件 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 二、基本规则 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 例1：已知某单位反馈控制系统的开环传递函数为： §4.2 绘制根轨迹的基本规则 例2：系统的开环传递函数如下，画出该系统的根轨迹 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 例2：系统的开环传递函数如下，画出该系统的根轨迹 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 例2：系统的开环传递函数如下，画出该系统的根轨迹 §4.2 绘制根轨迹的基本规则 例2：系统的开环传递函数如下，画出该系统的根轨迹 闭环特征方程： 闭环传递函数： R(s) C(s) － ＋ 特征根： K=0 K=0 K=0.5 K=1 K→∞ K→∞ K=1 0 1 2 +1 j s平面 -1 -2 -1 -2 根轨迹是当系统中某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征根在S平面上变化的轨迹。 K=0 K=0 K=0.5 K=1 K→∞ K→∞ K=1 0 1 2 +1 j s平面 -1 -2 -1 -2 上升时间（±5% ）： 最大超调量Mp 开环传递函数 闭环特征方程 闭环传递函数 R(s) C(s) G(s) H(s) - 闭环特征方程 根轨迹方程 当根轨迹增益K从0→∞变化——典型根轨迹 R(s) C(s) G(s) H(s) - 根轨迹增益 幅值条件： 相角条件： 在s平面上，给定了幅值和相角，就对应一个固定的点，既满足幅值条件又满足相角条件的s值就是特征方程的一组根，也就是一组闭环极点。 R(s) C(s) G(s) H(s) - 系统的开环传递函数 根轨迹增益 开环传递函数的零点 开环传递函数的极点 系统的开环传递函数 闭环特征方程： 幅值条件： 相角条件： 与K无关 由相角条件确定系统的根轨迹 由幅值条件确定某点的根轨迹增益 1、根轨迹的起点和终点 闭环系统的根轨迹起于开环极点，终于开环零点 n个开环极点（起点），m个开环零点（终点） 1）n＝m，起始于n个开环极点的n支根轨迹正好终止于m个开环零点。 2）n m，起始于n个开环极点的n支根轨迹有m支终止于开环零点，其余的终止于无穷远处。 3）n m，终止于m个开环零点的m支根轨迹有n支来源于n个开环极点，其余的来自无穷远处。 0 －1 －2 －3 +1 j －1 1 1、根轨迹的起点和终点 开环传递函数： 开环极点： 开环零点： p1=0 p3= －3 p3= －2＋j1 p4= －2－j1 z1= －1 2、根轨迹的分支数和对称性 根轨迹一定对称于实轴，并且是连续的 分支数与闭环特征根的数目相等，为n和m中的最大数 特征根为实数或共轭复数 系数连续变化，根连续 只需做出上半平面的轨迹 3、渐近线 当nm时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远 所有渐近线交于实轴上的一点 当nm时，根轨迹一定有m－n支来自无穷远 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线 渐近线与实轴的夹角为： 坐标为: 0 －1 －2 －3 +1 j －1 1 3、渐近线 与实轴坐标为: 开环传递函数： 与实轴夹角: 0 －1 －2 －3 +1 j －1 1 4、实轴上的根轨迹 实轴上某区域右边的开环零、极点总数是奇数，该区域就是根轨迹。 5、根轨迹与虚轴的交点 1）用劳斯判据确定根轨迹与虚轴的交点 2）将s=jω代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出ω和K 特征方程的根为共轭虚根，为临界稳定点 5、根轨迹与虚轴的交点 开环传递函数： 求得：当K＝64时，s1、2＝±j3 0 －1 －2 －3 +1 j －1 1