常微分方程期中测试卷.DOCVIP

常微分方程期中测试卷 (9) 班级 姓名 学号 得分 一、填空 1.形如___________________称为变量可分离方程，它有积分因子 。 2.当__________________时，方程称为恰当方程，或全微分方程。且它只含的积分因子的充要条件是___________。有只含的积分因子的充要条件是_________________。 3. ____________________称为伯努利方程，它有积分因子______________ 。 4.方程当时，通过_______________，可化为奇次方程；当时，令______________，化为变量分离方程。 5. ______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换_________________，可化为伯努利方程。 6.函数称为在矩形域R上关于满足利普希兹条件，如果存在常数L0,使，使不等式_____________________。 7.如果___________________________，则存在唯一解定义于区间上，连续且满足初始条件其中 _________________。 8.设是方程的定义于区间上，满足初始条件的解，则是积分方程____________________的定义于上的连续解 9.微分方程的某一个解称为奇解，如果_____________________________,也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立。 10.方程满足条件的解的存在区间是________________。 二、求解下列方程的通解 1、 2、 3、 4、 5、 6、 三、计算 求初值问题 四、证明 假设方程中函数，-=,其中f(x)，g(y)分别为的连续函数，试证 ：此方程有积分因子 答案 填空 1、的方程 2、 3、 4、坐标平移 5、 6、 7、在R上连续且关于利普希兹条件 8、 9、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在 10、 通求解 解：为一阶线性方程 代入公式，得 方程的通解为 2、解： 为一阶线性方程 代入公式，得 = 所以方程的通解为 3、解： 两边同时乘以，方程为恰当方程 所以方程的通解为 解：令 则原方程消去后，有 由此，得 所以 故原方程的通解为 解：令，得到两边对求导，得 当时 则 当时 即 积分，得 把代入，得 6、解：这是时的伯努利方程。令 得 代入原方程得到 这是线性方程，求得它的通解为 代回原来的变量，得到 这就是原方程的通解 此外，方程还有解 三、计算 解： 则 所以 所以解的存在区间为 误差估计为 四、2. 证明：由于 =（Mg(y)） 同理+N =（+f(x)） 故-=[+Mg(y)- -f(x)] 又已知-= f(x)- g(y) 所以-=·0=0 即=，故此题中是方程