分析题库1(方程,迭代).docVIP

例4-2 证明的根要迭代多少次？ 解答 设，则；又因，故在[0，1]上单减，因此f(x)在[0,1]上有且仅有一个根。 使用二分法时，误差限（按例4-1的编号方式）为，解得 所以需迭代14次即可。 例4-6 用牛顿法求解Leonardo方程 要求 。 解答 由上题知，在（1，2）内有一个根，且，故应取，利用牛顿迭代公式 计算结果如下： k k 0 1 3 1.368869419 1 1.6 4 1.368808109 2 1.383388704 5 1.368808108 ,故取。 注记 由上两题知，要达到同样的精度，牛顿法的迭代次数不一定比弦割法少，尽管牛顿法是平方收敛的。究竟二者谁的迭代次数少，要视问题而定。另外就整体计算时间而言，当牛顿法中的计算量超过的计算量的44%时，双点弦割法的总计算时间较牛顿法的少，见参考文献7. 例4-10 能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。 （1）； （2）。 分析 判断方程能否用迭代法求根，最关键的是在根的附近能否满足。因此可用该条件来判断。 解答 （1），对所有的x，有 故能用迭代法求根。 （2）方程为。设，则，故有根区间为[1,2]，题中，故不能用来迭代。 把原方程改写为，此时，，，故可用迭代公式 来求解。 例4-11为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式： （1），迭代公式 （2），迭代公式 （3），迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似根。 解答 取的邻域[1.3,1.6]来考察。 （1），故迭代公式（1）收敛。 （2） ，故（2）也收敛。 （3），故发散。 由于越小，越快地收敛于，故取第（2）式来求根。计算结果如下： k k 0 1.5 5 1 1 16 1 2 17 1 3 18 1 4 19 1 由于,故可取。 例4-15 设，证明迭代公式 是计算的三阶方法。 分析 本题应说明的极限为a，并且才行。关于第二件事也可按定理3.3来证（下文未给出该种证明）。 证明 显然，当时，。令，则 故对，即迭代收敛，设的极限为l，则有 解得 ，由题知取。即迭代序列收敛于。 故题中迭代式确是求的三阶方法。 例4-18 试给出简化牛顿公式（单调弦割法） 收敛的一个充分条件。又设f(x)在[a,b]内有单根x*，证明 ，其中。 分析 这里可看作是迭代函数为的简单迭代法。因之，可用简单迭代法的充分条件来出本题方法的收敛性条件。 解答 令，则（在x*的邻域内）是收敛的一个充分条件， 即 解得 因而，只要对给定的，存在,使对任何上式都能成立的话，单调弦割法就收敛。 再由，有 介于与x*之间 这样 所以 例7-2 已知函数方程，（1）确定有根区间[a,b]；（2）构造不动点迭代公式使之对任意初始近似，迭代方法均收敛；（3）用所构造的公式计算根的近似值，要求。 解 （1）令，由于，，因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间，又因，，当时f(x)单减，故f(x)=0在内有具仅有一根，即。 （2）将等价变形为，则，由于当 时 故不动点迭代法，对均收敛。 （3）取，利用进行迭代计算，结果如表7-2所示 k 0 2.5 1 2.082084999 0.417915001 2 2.124670004 0.042585005 3 2.119472387 0.0058197617 4 2.120094976 0.000622589 此时x4已满足误差要求，即。 例 7-3 考虑求解方程的迭代公式 （1）试证：对任意初始近似，该方法收敛； （2）取，求根的近似值； （3）所给方法的收敛阶是多少？ 解（1）由迭代公式知，迭代函数。由于的值域介于与之间，且 故根据定理7.1,7.2知在内存在惟一的不动点x*，且对，迭代公式得到的序列收敛于x*。 （2）取，迭代计算