不等式与绝对值不等式教案.docVIP

第三十一讲 含绝对值的不等式 回归课本1.绝对值不等式的性质：(aR) (1)|a|≥0(当且仅当a＝0时取“＝”)； (2)|a|≥±a； (3)－|a|≤a≤|a|； (4)|a2|＝|a|2＝a2； (5)|ab|＝|a||b|，||＝. 2 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件． |a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0； |a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0； |a|－|b|＝|a＋b|?(a＋b)b≤0； |a|－|b|＝|a－b|?(a－b)b≥0. 3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下： (1)|f(x)|＜a(a0)?－a＜f(x)＜a； (2)|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＜－a或f(x)＞a； (3)|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)； (4)|f(x)|＞g(x)?f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)； (5)|f(x)|＜|g(x)|?[f(x)]2＜[g(x)]2. (6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 考点陪练 1.设ab0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a＋b||a|；②|a＋b||b|；③|a＋b||a－b|； ④|a＋b||a|－|b|. A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④ 解析：∵ab0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|， ∴①和④正确． 答案：C 2．如果x是实数，那么使|x|≤2成立的必要且不充分条件是( ) A．|x＋1|≤1 B．|x＋1|≤2 C．|x＋1|≤3 D．|x－1|≤1 解析：|x|≤2?－2≤x≤2. 又|x＋1|≤1?－2≤x≤0；|x＋1|≤2?－3≤x≤1； |x＋1|≤3?－4≤x≤2；|x－1|≤1?0≤x≤2， ∴|x|≤2?|x＋1|≤3. 答案：C 3．(天津八校联考)如果a、b是满足ab≠0的实数，则下面结论一定不正确的是( ) A．|a＋b||a－b| B．|a＋b||a－b| C．|a－b|||a|－|b|| D．|a－b||a|＋|b| 解析：当ab0时，则A正确，B错，C错，D正确． 当ab0时，则A错，B正确，C错，D错． ∴一定不正确的为C. 答案：C 4．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( ) A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2) 解析：1＜|x＋1|＜3?1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1 ?0＜x＜2或－4＜x＜－2. ∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)． 答案：D 5．不等式|x2＋2x－1|≥2的解集是______． 解析：|x2＋2x－1|≥2? x2＋2x－1≤－2或x2＋2x－1≥2， 由x2＋2x－1≤－2得(x＋1)2≤0，故x＝－1； 由x2＋2x－1≥2得x≤－3或x≥1. 综上知，原不等式解集为{x|x≤－3或x＝－1或x≥1}． 答案：{x|x≤－3或x＝－1或x≥1} 类型一绝对值不等式的性质应用 解题准备：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|. 【典例1】(1)设xy0，x，y∈R，那么正确的是( ) A．|x＋y||x－y| B．|x－y||x|＋|y| C．|x＋y||x－y| D．|x－y|||x|－|y|| (2)已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是________． [](1)解法一：特殊值法 取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－20， 这样有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3， |x|＋|y|＝1＋2＝3，||x|－|y||＝|1－2|＝1， ∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立． 解法二：由xy0得x，y异号， 易知|x＋y||x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|， |x－y|||x|－|y||， ∴选项C成立，A、B、D均不成立 (2)因为|a|－|b|≤|a－b|， 所以≤1，即m≤1， 又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以≥1，即n≥1，所以m≤1≤n. ]绝对值不等式性质的重要作用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大．注意放缩后等号是否还能成立． 类型二 含绝对值不等式的解法 解题准备：若不