一元微积分(第四章不定积分).docVIP

第四章 不定积分 一、概念【理解原函数与不定积分的概念】 若，则称是的一个原函数． 的全体原函数称为的不定积分，记为，其中． 二、基本积分公式【掌握不定积分的基本公式】 （） 　　 三、求积分的四种方法 【掌握不定积分的凑微分法、第二换元法与分部积分法,会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分】 1.公式法 【例1】 求 . 【例2】 求 . 2.凑微分（第一换元法）： ． 常见凑法： ， ， ， ， ， ， ， 求 . 【例2】 求 【例3】 求 . 【补例】 求 【补例】 求 【例4】 求 . 【例5】 求. 【例6】 求 . 【例7】 求 . （分母判别式大于零，拆分） （分母判别式小于零，配方） 【例9】 求 (或令) 【例10】 求 . 3.分部积分公式：． 被积函数为“反对幂三指”的某两个相乘时，考虑用分部积分公式. 选的原则：“反对幂三指”读在前面的作；或不易凑进去的作；若被积函数只有一项，该项即作为，总之要使右侧积分易求. 【例1】 求. 【例2】 求 【例3】求 【例4】 求 分两种情况讨论. 【例5】 求 则 . 【例6】 求 解：原式 求 【例8】 已知的一个原函数为，求． 解：由已知得： = 则 4.第二换元法：． 被积函数中含根号，若能用凑微分方法积分就用凑微分，若不能就用第二换元法把根号换掉． 直接代换： 令 ， 倒代换： 令 三角代换： 令 令 令 （利用辅助三角形） 求 . 求 . 【例3】 求 解：令： 则 原式. 【例4】 求 解：令：， 则 原式. 【例5】 求 解：令 则 【例6】 求 . 注：本题还可令 或令 【例7】 求 解：令： 则原式  【例8】 解:令，， 【例9】 （2009数2、3）计算不定积分 解：令 【例10】求 解：令 则 【例11】 解：时，原式= 时，原式= 时，原式= 【例12】 . 【例13】 求 【例14】 求 其他代换（换元）：如万能公式 【例】 求 一元微积分---第四章 不定积分 禹春福 2009.3 7