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第二节 一阶线性微分方程 分布图示 ★ 一阶线性微分方程及其解法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 伯努利方程 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6—2 内容要点 一、一阶线性微分方程 形如 (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数、是某一区间上的连续函数. 当方程(3.1)成为 (3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程. 方程(3.2)的通解 (3.3) 其中为任意常数. 求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数变易为待定函数，并设一阶非齐次方程通解为 一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为 (3.5) 二、伯努利方程：形如 (3.7) 的方程称为伯努利方程，其中为常数，且. 伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以，得 或 于是，令，就得到关于变量的一阶线性方程 . 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解 例题选讲 一阶线性微分方程 例1（E01）求微分方程的通解. 解 分离变量得两端积分得 从而, 记则得到题设方程的通解 例2（E02）求微分方程的通解. 解 先合并及的各项, 得 设 分离变量得 两端积分 得 于是 记 则得到题设方程的通解 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该，但这样方程就失去特解，而如果允许，则仍包含在通解中. 例3设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间的变化规律. 解 设物体的温度与时间的函数关系为在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型: 其中为比例常数. 下面来求上述初值问题的解. 分离变量, 得 两边积分 得 (其中为任意常数)， 即 (其中). 从而 再将条件(2)代入,得 于是，所求规律为 注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等. 例4设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系. 解 设降落伞下落速度为降落伞下落时，同时收到重力与阻力的作用. 降落伞所受外力为 根据牛顿第二定律: ,得到满足微分方程 (1) 初始条件 将方程(1)分离变量得 两边积分得 ， 即 或 代入初始条件得 故所求特解为 . 例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为，并且假定周围空气的温度保持不变，试求出尸体温度随时间的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？ 解　根据物体冷却的数学模型，有 其中是常数．分离变量并求解得 ， 为求出值，根据两个小时后尸体温度为这一条件，有 ， 求得，于是温度函数为 ， 将代入上式求解，有 ，即得(小时)． 于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的. E04）饮酒量与事故风险率。大量的研究所提供的数据表明，汽车司机发生事故的风险率（百分比）与其血液中的酒精浓度（百分比）有关。使用两个有代表性的点（0，1%）和（0.14，20%）可用一个指数函数来近似这组数据。假设风险率的变化率与血液酒精浓度的关系为 （1）设，求满足方程的函数； （2）利用数据点，求； （3）用求出的写出； （4）当血液酒精浓度是多少时发生事故的风险率为100%？四舍五入后精确到百分之一。 解 （1）因为 ，将方程分离变量并积分得 由可得 （2）用第二个点（0.14，0.2）计算数。解方程 ，即 取自然对数得 （3） （4）把%代入3）中得 按照这个模型，当血液酒精浓度达到0.22%时