且谈矩阵及Rank.docVIP

且谈矩阵的Rank GM0732130 钟小兵 矩阵的Rank是反映矩阵固有特性的一个重要概念。 在本文中，作者介绍了Rank的定义和计算方法；并结合自己的学习和认识，解释了Rank与行列式、向量组、线形方程组、线性空间、向量系之间千丝万缕的关系。 矩阵的秩 1.1 定义 矩阵Amxn的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A)，或rank(A)。 显然, 矩阵A的秩是唯一确定的,并且,r(A)≤min(m,n), r(A)=r(AT), 零矩阵的秩等于 0。 根据定义，矩阵A的秩等于r的充分必要条件是A中至少有一个r阶子式Dr≠0 , 并且所有的r+1阶子式(若存在)Dr+1=0。换个说法，矩阵A中有一个r阶子式不为0，则r(A)≥r；矩阵A中所有r阶子式全为0, 则r(A)r。 1.2 性质 r(AB) ≤r(A),r(AB)≤r(B)。 任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。 设A是m×n矩阵，P是m阶满秩方阵，Q是n阶满秩方阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)。可以理解为：A左乘P，相当于矩阵A经过一些行的初等变换；A右乘Q，相当于矩阵A经过一些列的初等变换，由前一性质可知矩阵的秩不变。 同型矩阵Am×n与Bm×n等价的二种充分必要条件分别为： Am×n与Bm×n的秩相等。 存在m阶可逆阵p与n阶可逆阵Q，使PAQ=B。 对于任意一个矩阵A，A的秩，A的行秩和A的列秩三者都相等，称为矩阵三秩相等。 当rA＝r时，A中非零的r阶子式所在的行（列）正好构成A的行（列）向量组的一个最大无关组。矩阵三秩相等，反映了矩阵内在的重要性质，也是线性代数中非常重要的一个结论。? n维向量空间的n个线性无关的向量构成的矩阵A，一定是满秩的，r(A)=n。 1.3 满秩矩阵的特性 满秩矩阵的所有行（列）向量是线性无关的。 如果A是满秩方阵，则行列式|A|≠0。 满秩矩阵是可逆的。 1.4 矩阵秩的计算方法 求出A中最高阶非子式的阶数 求A的行(列)向量组的秩 将矩阵A化为阶梯阵 矩阵秩与行列式的关系 若矩阵A为n阶方阵，则r(A)=n ( |A|(0（满秩矩阵r (A)( r ( A 的所有r+1级子式等于0???????????? r (A)( r ( A 有一个r级子式不等于0将矩阵A按行或列分块向量组（I），（II）分别为A的行向量组与列向量组，则r（A）=r（I）=r（II）线性无关 r（A）=m线性无关 r（A）=???? 该结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变换 矩阵秩与线性方程组的关系A的秩与增广矩阵的秩相同。 线性方程组解： 当(A)=n时，有唯一解； 当(A)n时，有无穷多解；B为m ×r的列满秩矩阵，A为r×n的行满秩矩阵。 满秩分解说明了矩阵分解的存在性，而实现分解的途径很多。